第一章 离散时间信号与系统

离散时间信号

离散时间信号常用序列来表示。序列是时间上不连续的一串样本值的几何{x(n)},n为整型变量，n为整型变量，x(n)表示序列中的第n个样本值符号，{$\cdot$}表示全部样本值的集合
{x(n)}既可以使实数序列，也可以是复数序列。{x(n)}的复共轭序列用{x*(n)}表示，为方便通常去掉{}
用x(n)表示序列

离散时间信号x(n)是从连续时间信号$x_a(t)$采样得到的，对于等时间间隔的采样(均匀采样)
$$x(n)=x_a(t){|}_{t=nT}=x_a(nT)$$
T表示两个样本间的时间间隔称作采样周期，采样周期的倒数称为采样频率，即$f_s=\frac{1}{T}$

几种常见的信号

1.单位脉冲序列

$$\delta (n)=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ 0,n̸=0\end{array}$$

序列$\delta (n)$又称为离散冲激，或简称为冲激。它的作用类似于模拟系统中的单位冲激函数$\delta (t)$
但$\delta (t)$是非现实的信号，而$\delta (n)$是现实的序列

2.单位阶跃序列

$$u(n)=\{\begin{array}{l}1,n\ge 0\\ 0,n<0\end{array}$$

类似连续时间信号中的单位阶跃信号

3.矩形序列

$$R_N(n)=\{\begin{array}{l}1,0\le n\le N-1\\ 0,n<0,n\ge N\end{array}$$

从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余为零

4.实指数序列

$$x(n)=a^{n}u(n)$$

式中，a为不等于0的任意实数，当|a|<1时，序列收敛，当|a|>1时，序列发散

5.正弦序列

$$x(n)=sin({\omega }_{0}n)$$

${\omega }_0$是数字域角频率，单位是rad(弧度)

6.复指数序列

$$x(n)=(r{e}^{j{\omega }_0}{)}^n=r^n[cos({\omega }_0)+jsin({\omega }_{0}n)]$$

复指数序列的底数$a=r{e}^{j{\omega }_0}$,当r=1时，x(n)的实部和虚部分别是余弦和正弦序列
复指数序列可以用其幅度和相位表示，也可以用实部进而虚部来表示

离散周期序列

对于一个周期为N的离散周期序列记做$\overline{x}(n)$(顶上应该是波浪线，没有固用横线代替)
$$\overline{x}(n)=\overline{x}(n+kN)，0\le n\le N-1,k为任意正整数$$

讨论$x(n)=sin({\omega }_{0}n)$的周期性
则$x(n+N)=sin({\omega }_0(n+N))$
满足${\omega }_{0}N=2\pi i$,i为整数时，根据定义
$x(n)=x(n+N)$
所以sin(omega_0 n)为周期序列，周期是$N=\frac{2\pi i}{{\omega }_0}$,当i=1时，N$N=\frac{2\pi }{{\omega }_0}$成了最小的函数周期
对于复指数序列，当r=1时周期性与正弦序列相同

序列的运算

(1)序列的相加
两个长度相等的序列x(n),y(n),则z(n)=x(n)+y(n)表示这两个序列的相加。
(2)序列的相乘
f(n)=x(n)y(n),将两序列逐值相乘形成新序列
(3)序列的移位
序列x(n)平移$n_0$个序数，可以表示为$y(n)=x(n-n_0)$.$n_0>0$时，y(n)是x(n)的延迟，$n_0<0$时，y(n)超前x(n)
(4)序列的能量以及序列的绝对值
序列的能量定义
$$S=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2$$
如果序列的能量满足
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n){|}^2<\infty$$
则$x(n)$为平方可和序列。
如果序列x(n)满足
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$$
则$x(n)$为绝对可和序列
如果一个序列x(n)的每一个样本的绝对值均小于某一个有限的正整数$B_x$,则x(n)为有界序列，即
$$|x(n)|\le B_x\le \infty$$
(5)实序列的偶部和奇部
对于所有的n，有x(n)=x(-n),则x(n)称为偶序列，x(n)=-x(-n),则x(n)称为奇序列
任何序列均可以分解成偶对称序列和奇对称序列
$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$
$x_e(n)$和$x_o(n)$也分别称为x(n)的偶部和奇部，它们分别等于
$x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x(-n)]$
$x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x(-n)]$
(6)任意序列的单位脉冲序列表示
任一新序列都可以表示成单位脉冲蓄力的移位的加权和，即
$x(n)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)\delta (n-m)$

离散时间信号的傅里叶变换和z变换

离散时间信号灯的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换即DTFT(discrete-time Fourier transform)
序列x(n)的DTFT定义为
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
（类似傅里叶级数）
式中，$\omega$为数字角频率，它是频率f对采样频率fs作归一化后的角频率
$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$
$X(e^{j\omega })$是$\omega$的连续函数，并且是以$2\pi$为周期的
上式级数不一定收敛，如单位阶跃序列
收敛的充分条件是
${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x(n)e^{-j\omega n}|={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$
即x(n)绝对可和，则它的DTFT一定存在。同时，也可以推断，有限长序列总是满足绝对可和条件的，其DTFT也总是存在的。
用$e^{j\omega m}$乘以定义式的凉拌，并在$\omega$的一个周期的积分
可得
$${\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega m}d\omega ={\int }_{-\pi }^{\pi }[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}]e^{j\omega m}$$
$$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{j\omega (m-n)}d\omega =2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)\delta (m-n)$$
即$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$
这就是离散时间信号的逆傅里叶变换(IDTFT)
对应关系
$X(e^{j\omega })=DTFT[x(n)]$
$x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega })]$

一般来说，$X(e^{j\omega })$是实变量$\omega$的复函数，可以用实部和虚部表示
$X(e^{j\omega })=Re[X(e^{j\omega })]+jIm[X(e^{j\omega })]$
也可以用幅度和相位表示
$X(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\phi (\omega )}$

性质

信号与系统中有详述

z变换

z变换的定义式
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$
式中，z是复变量，也可记$\mathcal{Z}[x(n)]=X(z)$
对于所有的序列，z变换并不总是收敛的。收敛区域是
$R_{x-}<|z|<R_{x+}$(一般$R_{x-}$可以小到0，$R_{x+}$可以大到$\infty$)

收敛域的讨论
(1)有限长序列。
仅有有限个数的序列值是非零值，从而
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}$
式中，$n_1$和$n_2$是有限整数，收敛域至少是0<|z|<$\infty$
(2).右边序列。右边序列是n<$n_1$时x(n)=0的序列，z变换为
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{-n}$
右边序列的收敛区域是一个半径为$R_{x-}$,即
|z|>$R_{x-}$
若$n_1\ge$,则z变换在z=$\infty$处收敛,反之，若$n_1$<0,则它在z=$\infty$处将不收敛
(3)左边序列。左边序列是n>$n_2$时x(n)=0的序列，z变换为
$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{n_2}x(n)z^{-n}$
左边序列的收敛区域是一个圆的内部，即
|z|<$R_{x+}$
若$n_2$<0,则左边序列的z变换在z=0处收敛
(4)双边序列。一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列z变换的收敛域就是这两个序列z变换的公共收敛区间
$X(z)={\sum }_{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{-n}+{\sum }_{n=-\infty }^{n_2}x(n)z^{-n}$
所以收敛域为
$R_{x-}<|z|<R_{x+}$
若$R_{x-}>R_{x+}$,则没有公共区域，不能收敛

逆z变换

公式
$$x(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

直接用公式求很麻烦，具体求解在信号与系统里有

z变换的性质

具体在信号与系统里

z变换域DTFT的关系

一个序列x(n)的z变换是
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$
DTFT是
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-jn\omega }$$
令$z=e^{j\omega }$
$$X(z)|z=e^{j\omega }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-jn\omega }$$
可以看出，当$z=e^{j\omega }$时，z变换和DFTF相等。也就是说，采样序列圆上的z变换就等于该采样序列的DTFT。由于$e^{j\omega }=e^{j(\omega +2k\pi )}$,所以$X(e^{j\omega })$是以$2\pi$为周期的周期函数，z平面单位圆上的一周正好对应$X(e^{j\omega })$的一个周期

Parseval定理

离散时间系统

将输入序列映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。记为
$$y(n)=T[x(n)]$$

线性系统

满足叠加原理

时不变系统

$T[x(n)]=y(n)$
$T[x(n-n_0)]=y(n-n_0)$
x(n)移位和变换后移位是等效的

线性时不变系统

单位脉冲响应可以表示为
$$h(n)=T[\delta (n)]$$
根据上式可以得到任一输入序列x(n)的响应
$$y(n)=T[x(n)]=T[\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\delta (n-k)]$$
由于系统是线性的，所以
$$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)T[\delta (n-k)]$$
由于系统是时不变的，即有$T[\delta (n-k)]=h(n-k)$
从而得到
$$y(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)h(n-k)=x(n)\ast h(n)$$

matlab 中离散用conv函数

稳定系统和因果系统

只要输入序列是有界的，其输出必定是有界的，这样的系统称为稳定系统。稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应应绝对可和，即
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|<\infty$$

因果系统就是系统的输出y(n)取决于此时，以及此时以前的输入，即x(n),x(n-1),x(n-2)等。相反，如果系统的输出y(n)不仅取决于现在和过去的输入，而且取决于未来的输入，如x(n+1),x(n+2)等，这在时间上就违背 了因果规律

最后

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