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Leetcode动态规划专题（共38道）1.Leetcode509. 斐波那契数2.Leetcode70. 爬楼梯3.Leetcode746. 使用最小花费爬楼梯4.Leetcode62. 不同路径5.Leetcode63. 不同路径 II6.Leetcode343. 整数拆分7.Leetcode96. 不同的二叉搜索树8.Leetcode416. 分割等和子集9.Leetcode1049. 最后一块石头的重量 II10.Leetcode494. 目标和11.Leetcode474. 一和零12

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我是靠谱客的博主 孝顺大碗，最近开发中收集的这篇文章主要介绍Leetcode动态规划专题（共38道）1.Leetcode509. 斐波那契数2.Leetcode70. 爬楼梯3.Leetcode746. 使用最小花费爬楼梯4.Leetcode62. 不同路径5.Leetcode63. 不同路径 II6.Leetcode343. 整数拆分7.Leetcode96. 不同的二叉搜索树8.Leetcode416. 分割等和子集9.Leetcode1049. 最后一块石头的重量 II10.Leetcode494. 目标和11.Leetcode474. 一和零12，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

某一问题有很多重叠子问题

每一状态一定由上一状态推导出来

而贪心没有状态推导，而是直接选局部最优

解决方式：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
  2. 确定递推公式
  1. dp数组如何初始化
  2. 确定遍历顺序
  1. 举例推导dp数组

模拟：举例推导dp数组

检查：打印dp数组

1.Leetcode509. 斐波那契数

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
      //第i个数的值
      vector<int>num(n+2,0);
      //初始化
      num[0]=0;
      num[1]=1;
        
      //确定遍历顺序
      for(int i=2;i<=n;i++){
          num[i]=num[i-1]+num[i-2];
      }
      return num[n];
      
    }
};

递归写法

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
      if(n<2)return n;
      return fib(n-1)+fib(n-2);
    }
};

2.Leetcode70. 爬楼梯

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       vector<int>dp(n+2,0);
        //不用考虑dp[0]的初始化，n>0
       dp[1]=1;
       dp[2]=2;
       for(int i=3;i<=n;i++){
           dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
       }
       return dp[n];
    }
};

优化空间复杂度O(n)->O(1)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       if(n<=2)return n;
       int dp[3];
       dp[1]=1;
       dp[2]=2;
       int sum;
       for(int i=3;i<=n;i++){
          sum=dp[1]+dp[2];
          dp[1]=dp[2];
          dp[2]=sum;
       }
       return sum;
    }
};

升级：一步一个台阶，两个台阶，...直到m个台阶，有多少种方法爬到n阶

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n,int m) {
       vector<int>dp(n+1,0);
       dp[0]=1;
       for(int i=1;i<=n;i++){
           for(int j=1;j<=m&&j<=i;j++){
               dp[i]+=dp[i-j];
           }
       }
       return dp[n];

    }
};

3.Leetcode746. 使用最小花费爬楼梯

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        //从第i个楼梯向上爬的最小花费
        int len=cost.size();
        vector<int>dp(len,0);
        dp[0]=cost[0];
        dp[1]=cost[1];
        for(int i=2;i<len;i++){
            dp[i]=min(dp[i-1],dp[i-2])+cost[i];
        }
        return min(dp[len-1],dp[len-2]);
        

    }
};
class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int len=cost.size();
        int dp0=cost[0];
        int dp1=cost[1];
        int t;
        for(int i=2;i<len;i++){
            t=min(dp0,dp1)+cost[i];
            dp0=dp1;
            dp1=t;
        }
        return min(dp0,dp1);
        
    }
};

4.Leetcode62. 不同路径

dfs

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        for(int i=1;i<=m;i++)dp[i][1]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)dp[1][i]=1;
        for(int i=2;i<=m;i++){
            for(int j=2;j<=n;j++){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

滚动数组优化

数论

5.Leetcode63. 不同路径 II

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
         int m=obstacleGrid.size(),n=obstacleGrid[0].size();
         vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,0));
         for(int i=0;i<m;i++){
             if(obstacleGrid[i][0])break;
             dp[i][0]=1;  
         }
         for(int i=0;i<n;i++){
             if(obstacleGrid[0][i])break;
             dp[0][i]=1;
         }
         for(int i=1;i<m;i++){
             for(int j=1;j<n;j++){
                 if(!obstacleGrid[i][j]){
                      if(!obstacleGrid[i-1][j])dp[i][j]+=dp[i-1][j];
                      if(!obstacleGrid[i][j-1])dp[i][j]+=dp[i][j-1];
                 } 
                 //printf("i==%d j==%d dp=%dn",i,j,dp[i][j]);            
             }
         }
         return dp[m-1][n-1];
         
    }
};

6.Leetcode343. 整数拆分

  1.  自己的傻瓜推导法
class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //正整数i的最大乘积
        vector<int>dp(n+11);
        dp[2]=1;//1
        dp[3]=2;//2
        dp[4]=4;//2*2
        dp[5]=6;//2*3
        dp[6]=9;//3*3
        dp[7]=12;//2*2*3
        dp[8]=18;//2*3*3
        dp[9]=27;//3*3*3
        for(int i=10;i<=n;i++){
            for(int k=3;k<i-1;k++){
                dp[i]=max(dp[i],dp[i-k]*dp[k]);
            }
        }
        return dp[n];
        // dp[2]=1;
        // dp[3]=1*2;
        // dp[4]=2*2;
        // dp[5]=2*3=6;
        // dp[6]=3*3;
        // dp[7]=3*4;
        // dp[8]=3*3*2;
        // dp[9]=3*3*3;
        // dp[10]=3*3*4=dp[6]*dp[4]=dp[5]*dp[5];
        // dp[11]=3*3*3*2=dp[5]*dp[6];

    }
};

 2.  从1遍历j，有两种渠道得到dp[i]

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int>dp(n+3);
        dp[2]=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=4&&j<i;j++){
                dp[i]=max(dp[i],max((i-j)*j,dp[i-j]*j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

3. 贪心解法

每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n==2)return 1;
        if(n==3)return 2;
        if(n==4)return 4;
        int ans=1;
        while(n>=3){
            ans*=3;
            n-=3;
        }
        
        if(n==1)ans=ans*4/3;
        if(n==2)ans*=2;
        return ans;
        
    }
};

7.Leetcode96. 不同的二叉搜索树

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                //对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加
                //一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

01背包

暴力解法：回溯，每个物品取或不取，时间复杂度O(2^n)

暴力解法指的是时间复杂度是指数级别的

滚动数组优化->二维变一维

第二维为什么要反向遍历？

防止物品重复放入

8.Leetcode416. 分割等和子集

初步可以想用回溯法，但是N可以到100,会超时

原本设置dp[][]为int类型，但值会超int大小，设置为bool

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum=0;
        int len=nums.size();
        for(int i=0;i<len;i++)sum+=nums[i];
        if(sum%2==1)return false;
        vector<vector<bool>>dp(len,vector<bool>(sum/2+1,0));
        if(nums[0]<=sum/2)dp[0][nums[0]]=true;
        else return false;
        //在前i个数中选
        for(int i=1;i<len;i++){
            for(int j=0;j<=sum/2;j++){
                if(dp[i-1][j])dp[i][j]=true;
                if(j>=nums[i]&&dp[i-1][j-nums[i]])dp[i][j]=true;
                //printf("i==%d j==%d dp=%dn",i,j,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[len-1][sum/2];
        return false;
    }
};

优化为一维

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum=0;
        int len=nums.size();
        for(int i=0;i<len;i++)sum+=nums[i];
        if(sum%2==1)return false;
        vector<bool>dp(sum/2+1,0);
        if(nums[0]<=sum/2)dp[nums[0]]=true;
        else return false;
        //在前i个数中选
        for(int i=1;i<len;i++){
            for(int j=sum/2;j>=0;j--){
                if(j>=nums[i]&&dp[j-nums[i]])dp[j]=true;
                //printf("i==%d j==%d dp=%dn",i,j,dp[i][j]);
            }
        }
        return dp[sum/2];
        return false;
    }
};

9.Leetcode1049. 最后一块石头的重量 II

尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
        int len=stones.size();
        int sum=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            sum+=stones[i];
        }
        int target=sum/2;
        //容量为i的背包能放下的最大容量
        vector<int>dp(target+1,0);
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=target;j>=stones[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum-dp[target]-dp[target];
        
    }
};

10.Leetcode494. 目标和

本题要如何使表达式结果为target，

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target。

left + right等于sum，而sum是固定的。

公式来了， left - (sum - left) = target -> left = (target + sum)/2 。

target是固定的，sum是固定的，left就可以求出来。

此时问题就是在集合nums中找出和为left的组合。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int len=nums.size();
        int sum=0;
        for(int i=0;i<len;i++)sum+=nums[i];
        
        if(abs(target)>sum)return false;
        if((target+sum)%2==1)return false;
        int s=(target+sum)/2;
        vector<int>dp(s+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<len;i++){
          for(int j=s;j>=nums[i];j--){
            dp[j]+=dp[j-nums[i]];    
          }
        }
        return dp[s];
    }
};

11.Leetcode474. 一和零

是典型的01背包，但是物品重量有两个维度

typedef pair<int,int>PII;
#define x first
#define y second
class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        //前0后1
        vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1,0));
        for(int i=0;i<strs.size();i++){
            int x=0,y=0;

            for(int j=0;j<strs[i].size();j++){
                if(strs[i][j]=='0')x++;
                if(strs[i][j]=='1')y++;
            }
            //printf("x==%d y==%dn",x,y);
            for(int j=m;j>=x;j--){
                for(int k=n;k>=y;k--){
                    dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-x][k-y]+1);
                    //printf("j==%d k==%d dp=%dn",j,k,dp[j][k]);
                }
            }
 
        }
        return dp[m][n];
        
    }
};

完全背包：

12.Leetcode518. 零钱兑换 II

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int len=coins.size();
        //前i个面额的硬币，可以组成总金额为j的最大组合数
        vector<int>dp(amount+1,0);
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<len;i++){
            printf("i==%dn",i);
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]+=dp[j-coins[i]];
                //printf("j==%d,dp==%dn",j,dp[j]);
            }
           
        }
        return dp[amount];
    }
};

13.Leetcode377. 组合总和 Ⅳ

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        int len=nums.size();
       
        vector<int>dp(target+1,0);
        dp[0]=1;
        //求排列数
        for(int j=0;j<=target;j++){
            for(int i=0;i<len;i++){
                //C++测试用例有超过两个树相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
                if(j>=nums[i]&&dp[j]<INT_MAX-dp[j-nums[i]])dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        
        return dp[target];
    }
};

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

14.Leetcode70. 爬楼梯

完全背包求排列问题->遍历背包放在外面，遍历物品放在里面

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
       vector<int>dp(n+2,0); 
       dp[1]=1;
       dp[2]=2;
       for(int i=3;i<=n;i++){
           for(int j=1;j<=2&&j<=i;j++){
               dp[i]+=dp[i-j];
           }
       }
       return dp[n];

    }
};

15.Leetcode322. 零钱兑换

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int len=coins.size();
        //凑成总金额所需的最小硬币个数
        vector<int>dp(amount+1,0x3f3f3f3f);
        dp[0]=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]=min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
            }
        }
        if(dp[amount]==0x3f3f3f3f)return -1;
        return dp[amount];
    }
};

16.Leetcode279. 完全平方数

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
       vector<int>dp(n+1,0x3f3f3f3f);
       dp[0]=0;
       for(int i=1;i<=n/i;i++){
           //printf("i==%dn",i);
           for(int j=i*i;j<=n;j++){
               dp[j]=min(dp[j],dp[j-i*i]+1);
               //printf("j==%d dp==%dn",j,dp[j]);
           }
       }
       
       return dp[n];
    }
};

17.Leetcode139. 单词拆分

  1. 回溯法

切割问题类似组合问题

时间复杂度O(2^n)每个单词都有两种状态-切割和不切割

class Solution {
public:
    bool dfs(int st,const string&s,const unordered_set<string>&wordSet){
        if(st>=s.size())return true;
        for(int i=st;i<s.size();i++){
            string word=s.substr(st,i-st+1);//start len
            if(wordSet.find(word)!=wordSet.end()&&dfs(i+1,s,wordSet)){
                return true;
            }
        }
        return false;

    }
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string>wordSet(wordDict.begin(),wordDict.end());
        return dfs(0,s,wordSet);
    }
};

利用记忆数组存储递归过程中计算的结果--记忆化递归

时间复杂度O(2^n)

class Solution {
public:
    bool dfs(int st,const string&s,const unordered_set<string>&wordSet,vector<int>&memory){
      if(st>=s.size()){
          return true;
      } 
      if(memory[st]!=-1)return memory[st];
      for(int i=st;i<s.size();i++){
          string word=s.substr(st,i-st+1);
          if(wordSet.find(word)!=wordSet.end()&&dfs(i+1,s,wordSet,memory)){
              memory[st]=1;//记录以st开始的字符串是可以被拆分的
              return true;
          } 
      } 
      memory[st]=0;
      return false;
    }
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string>wordSet(wordDict.begin(),wordDict.end());
        vector<int>memory(s.size(),-1);
        return dfs(0,s,wordSet,memory);

    }
};
  1. 动态规划

组合（先遍历物品再遍历背包）---->这道题用组合只能过39/45

class Solution {
public:
    
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string>wordSet(wordDict.begin(),wordDict.end());

        //是否可以用字典中的单词拼出s0~i
        //背包问题
        //完全背包
        //组合、排列都ok????
        //如果将word作为物品其实只能用排列，用过的word不能再用

        //无法通过的样例
        //"applepenapple"
        //["apple","pen"]
        

        //组合写法 常常是-x-x-x-y-y-y-y-z-z
        //排列可能涉及，x-y-z-z-x-y，所以这题不能用   
        vector<int>dp(s.size()+1,0);
        dp[0]=true;
        for(int i=0;i<wordSet.size();i++){
            cout<<"i=="<<i<<endl;
           int len=wordDict[i].size();
           cout<<wordDict[i]<<endl;
           for(int j=len;j<=s.size();j++){
               cout<<"j=="<<j<<endl;
               string word=s.substr(j-len,len);
               cout<<word<<endl;
               if(wordSet.find(word)!=wordSet.end()&&dp[j-len]){
                   dp[j]=true;
               }
               cout<<"dp "<<j<<"=="<<dp[j]<<endl;
           }
        }
        for(int i=0;i<=s.size();i++){
            if(dp[i])printf("%dn",i);
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

正解：

class Solution {
public:
    
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string>wordSet(wordDict.begin(),wordDict.end());
        vector<int>dp(s.size()+1,0);
        //排列
        dp[0]=true;
        for(int i=1;i<=s.size();i++){
            for(int j=0;j<wordDict.size();j++){
                if(i+wordDict[j].size()-1>s.size())continue;
                string word=s.substr(i-1,wordDict[j].size());
                //cout<<word<<endl;
                if(wordSet.find(word)!=wordSet.end()&&dp[i-1]){
                    dp[i+wordDict[j].size()-1]=true;
                    //cout<<"i=="<<i<<endl;
                    //cout<<"？？？"<<i+wordDict[j].size()-1<<endl;
                }
            }
        }
        //for(int i=0;i<=s.size();i++)if(dp[i])cout<<i<<endl;
        return dp[s.size()];
    }
};

代码随想录解法：

对区间i-j上字符进行判断

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
        vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {   // 遍历背包
            for (int j = 0; j < i; j++) {       // 遍历物品
                string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)
                if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
                    dp[i] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

多重背包和01背包最为相似

将多重背包转换为01背包的方法

 vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }
  • 时间复杂度：$O(m × n × k)$，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

18.Leetcode198. 打家劫舍

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        //打劫到第i家得到的最高金额
        vector<int>dp(1+nums.size(),0);
        dp[0]=0;
        dp[1]=nums[0];
        for(int i=2;i<=nums.size();i++)dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i-1],dp[i-1]);
        return dp[nums.size()];
    }
};

19.Leetcode213. 打家劫舍 II

注意打劫可以隔2个房间，跟奇偶无关

注意边界

class Solution {
public:
    int robnum(int st,int ed,vector<int>& nums){
        //!!!
       if(st==ed)return nums[st];
       int len=ed-st+1;
       vector<int>dp(ed+1,0); 
       dp[st]=nums[st];
       dp[st+1]=max(dp[st],nums[st+1]);
       for(int i=st+2;i<=ed;i++)dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1]);
       return dp[ed];
    }
    int rob(vector<int>& nums) {
      int len=nums.size();
        //!!!!
      if(len==0)return 0;
      if(len==1)return nums[0];
      //有2种情况 1.头+中 2.中+尾     
      return max(robnum(0,len-2,nums),robnum(1,len-1,nums));
              
    }
};

20.Leetcode337. 打家劫舍 III（树形DP)

法一：暴力递归超时

空间复杂度O(logn)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int rob(TreeNode* root) {
        if(root==NULL)return 0;
        if(root->left==NULL&&root->right==NULL)return root->val;
        int res0=0,res1=root->val;
        //偷父节点
        if(root->left)res1+=rob(root->left->left)+rob(root->left->right);
        if(root->right)res1+=rob(root->right->left)+rob(root->right->right);
        //不偷
        if(root->right)res0+=rob(root->right);
        if(root->left)res0+=rob(root->left);
        return max(res0,res1);
    }
};

法二：记忆化递推

时间复杂度O(n)

空间复杂度O(logn)

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    unordered_map<TreeNode*,int>umap;
    int rob(TreeNode* root) {
        if(root==NULL)return 0;
        if(root->left==NULL&&root->right==NULL)return root->val;
        if(umap[root])return umap[root];
        int res0=0,res1=root->val;
        //偷父节点
        if(root->left)res1+=rob(root->left->left)+rob(root->left->right);
        if(root->right)res1+=rob(root->right->left)+rob(root->right->right);
        //不偷
        if(root->right)res0+=rob(root->right);
        if(root->left)res0+=rob(root->left);
        umap[root]=max(res1,res0);
        return umap[root];
    }
};

法三：动态规划

用长度为2的数组记录每个节点偷与不偷

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<int> robTree(TreeNode *root){
        if(root==NULL)return {0,0};
        vector<int> left=robTree(root->left);
        vector<int> right=robTree(root->right);
        //偷
        int val1=root->val+left[0]+right[0];
        //不偷
        int val0=max(left[0],left[1])+max(right[0],right[1]);
        return {val0,val1};
    }
    int rob(TreeNode* root) {
       vector<int>ans=robTree(root);
       return max(ans[0],ans[1]);
    }
};

21.Leetcode121. 买卖股票的最佳时机

只能交易一次

法一：暴力解法 O(n^2)超时

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        int ans=0;
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=i+1;j<len;j++){
                ans=max(prices[j]-prices[i],ans);
            }
        }
        return ans;
    }
};

法二：贪心，取左最小值，右最大值

时间复杂度O(n)

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        int ans=0;
        vector<int>low(len,0);
        low[0]=prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            low[i]=min(low[i-1],prices[i]);
            ans=max(prices[i]-low[i],ans);
        }
        return ans;
    }
};

法三：动态规划

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0]表示第i天时持有股票所得最多的现金

dp[i][1]表示第i天时不持有股票所得最多现金

注意：第i天时持有不是第i天买入

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
       
        vector<vector<int>>dp(len,vector<int>(2,0));
       //第i天持有股票所得最多的现金dp[i][0]
       //第i天不持有股票所得的最多现金
        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            //上一天持有，今天买入
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],-prices[i]);
            //上一天也不持有/今天卖出
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i]);
        }
        return dp[len-1][1];
    }
};

优化空间复杂度

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
       
        vector<vector<int>>dp(2,vector<int>(2,0));
        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i%2][0]=max(dp[(i-1)%2][0],-prices[i]);
            dp[i%2][1]=max(dp[(i-1)%2][1],dp[(i-1)%2][0]+prices[i]);
        }
        return dp[(len-1)%2][1];
    }
};

22.Leetcode122. 买卖股票的最佳时机 II

可以无限次交易

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        vector<vector<int>>dp(len,vector<int>(2,0));
        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=max(dp[i-1][1]-prices[i],dp[i-1][0]);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][0]+prices[i],dp[i-1][1]);
        }
        return dp[len-1][1];
    }
};

23.Leetcode123. 买卖股票的最佳时机 III

最多交易两次

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        //第i天所对应的状态
        //最多可以完成两笔交易
        //1.无交易
        //2.买入第一次
        //3.卖出第一次
        //4.买入第二次
        //5.卖出第二次
        vector<vector<int>>dp(len+2,vector<int>(5,0));
        dp[0][0]=0;
        dp[0][1]=-prices[0];
        //一定要初始化dp[0][3],循环里的逻辑也是可以一天买两次
        dp[0][3]=-prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=dp[i-1][0];
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3]=max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4]=max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);         
        }
        return  dp[len-1][4];
    }
};

24.Leetcode188. 买卖股票的最佳时机 IV

最多交易k次

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int len=prices.size();
        if(len==0||len==1)return 0;
        vector<vector<int>>dp(len+1,vector<int>(2*k+1,0));
        for(int i=0;i<=2*k;i++){
            if(i%2)dp[0][i]=-prices[0];
        }
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=dp[i-1][0];
            for(int j=1;j<=2*k;j++){
                if(j%2)dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
            }
        }
        return dp[len-1][k*2];

    }
};

25.Leetcode309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
          int len=prices.size();
          vector<vector<int>>dp(len+1,vector<int>(5,0));
         //1.买入状态
     //卖出状态:     
         //2.度过冷冻期保持卖出
          //3.今天卖出
         //4.冷冻期
          
          dp[0][1]=-prices[0];
          for(int i=1;i<len;i++){
              dp[i][0]=dp[i-1][0];
              //买入状态
              //前一天持有，今天买（前一天是冷冻期，前一天非冷冻期）
              dp[i][1]=max(dp[i-1][1],max(dp[i-1][4],dp[i-1][2])-prices[i]);
              //卖出
              //今天卖出,前一天卖出
              dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][4]);
              dp[i][3]=dp[i-1][1]+prices[i];
              dp[i][4]=dp[i-1][3];
              
          }
          int ans=0;
          for(int i=0;i<=4;i++){
              ans=max(ans,dp[len-1][i]);
          }
          return ans;

    }
};

26.Leetcode714. 买卖股票的最佳时机含手续费

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int len=prices.size();
        vector<vector<int>>dp(len+1,vector<int>(2,0));
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
        }
        return dp[len-1][0];   
    }
};

27.Leetcode300. 最长递增子序列

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        //以nums[i]为结尾的递增子序列长度
        vector<int>dp(len+1,1);
        int ans=1;
        for(int i=1;i<len;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j])dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
          
        }
        return ans;

    }
};

28.Leetcode674. 最长连续递增序列

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        //以nums[i]结尾的最长连续递增子序列
        vector<int>dp(len+1,1);
        int ans=1;
        for(int i=1;i<len;i++){
            if(nums[i]>nums[i-1])dp[i]=dp[i-1]+1;
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
        
    }
};

29.Leetcode718. 最长重复子数组

注意是连续的

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1=nums1.size(),len2=nums2.size();
        //nums1的前i个和nums2的前j个中有多少个重复的
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                ans=max(ans,dp[i][j]);
            }
        }
        return ans;
    }
};

30.Leetcode1143. 最长公共子序列

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int len1=text1.size(),len2=text2.size();
        //nums1的前i个和nums2的前j个中有多少个重复的
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1));
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(text1[i-1]==text2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

31.Leetcode1035. 不相交的线

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1=nums1.size(),len2=nums2.size();
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(nums1[i-1]==nums2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

32.Leetcode53. 最大子数组和

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        //j~i连续数组总和
        vector<vector<int>>dp(len+1,vector<int>(len+1,0));
        
        int ans=nums[0];
        for(int i=1;i<=len;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
               dp[j][i]=dp[j][i-1]+nums[i-1];
               ans=max(ans,dp[j][i]);
            }
        }
        return ans;
    }
};
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        //以i结尾的具有最大和的连续数组
        vector<int>dp(len+1,0);
        int ans=nums[0];
        for(int i=1;i<=len;i++){
            dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i-1],nums[i-1]);
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

33.Leetcode392. 判断子序列

法一：最长公共子序列值大于等于子串长度，时间复杂度O(n*m)

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        int len1=s.size(),len2=t.size();
        //s到i,t到j的最长公共子序列长度
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(s[i-1]==t[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }

        return dp[len1][len2]>=len1;
    }
};

法二：双指针O(n)

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        int len1=s.size(),len2=t.size();
        bool flag=true;
        
        for(int i=0,j=-1;i<len1;i++){
            j++;
           while(j<len2&&s[i]!=t[j])j++;
           if(j==len2)flag=false;
        }
        return flag;
    }
};

34.Leetcode115. 不同的子序列

如果不是子序列，而是要求连续序列的，那就可以考虑用KMP

本题相当于编辑距离只有删除操作，不用考虑替换增加

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        int len1=s.size(),len2=t.size();
        vector<vector<uint64_t>>dp(len1+1,vector<uint64_t>(len2+1,0));
        //dp[i][j]是s[0~i-1]的子序列中t[0~t-1]的出现个数
        //以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。
        for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0]=1;
        for(int i=1;i<=len2;i++)dp[0][i]=0;

        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                //s[i-1]==t[i-1]时不用进行编辑
                //dp[i-1][j]相当于删除s[i-1]
                //相同时可以用s[i-1]进行匹配，也可以不用s[i-1]进行匹配
                //bagg bag
                //不相同时要进行编辑
                if(s[i-1]==t[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];
                else dp[i][j]=dp[i-1][j];

            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

35.Leetcode583. 两个字符串的删除操作

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int len1=word1.size(),len2=word2.size();
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0]=i;
        for(int i=0;i<=len2;i++)dp[0][i]=i;
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                }else{
                    dp[i][j]=min({dp[i-1][j-1]+2,dp[i][j-1]+1,dp[i-1][j]+1});
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
};

36.Leetcode72. 编辑距离

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int len1=word1.size(),len2=word2.size();
        vector<vector<int>>dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
        for(int i=0;i<=len1;i++)dp[i][0]=i;
        for(int i=0;i<=len2;i++)dp[0][i]=i;
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                if(word1[i-1]==word2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1];
                else dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),dp[i-1][j-1])+1;
            }
        }
        return dp[len1][len2];
        
    }
};

37.Leetcode647. 回文子串

遍历顺序一定从下到上，从左到右

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        int len=s.size();
        vector<vector<bool>>dp(len+1,vector<bool>(len+1,false));
        int res=0;
        for(int i=len;i>=1;i--){
            for(int j=i;j<=len;j++){
                
                if(s[i-1]==s[j-1]){
                    
                    if(i==j)dp[i][j]=true;
                    else if(j-i==1)dp[i][j]=true;
                    else if(dp[i+1][j-1])dp[i][j]=true;

                    if(dp[i][j]){
                        res++;
                    }
                }else{
                    dp[i][j]=false;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

38.Leetcode516. 最长回文子序列

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        int len=s.size();
        vector<vector<int>>dp(len+1,vector<int>(len+1,1));
        int ans=1;
        for(int i=len;i>=1;i--){
            for(int j=i+1;j<=len;j++){
                if(s[i-1]==s[j-1]){
                    if(j-i==1)dp[i][j]=2;
                    if(j-i>1)dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                }else{
                    dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
                }
                
            }
        }
        return dp[1][len];
    }
};

最后

以上就是孝顺大碗为你收集整理的Leetcode动态规划专题（共38道）1.Leetcode509. 斐波那契数2.Leetcode70. 爬楼梯3.Leetcode746. 使用最小花费爬楼梯4.Leetcode62. 不同路径5.Leetcode63. 不同路径 II6.Leetcode343. 整数拆分7.Leetcode96. 不同的二叉搜索树8.Leetcode416. 分割等和子集9.Leetcode1049. 最后一块石头的重量 II10.Leetcode494. 目标和11.Leetcode474. 一和零12的全部内容，希望文章能够帮你解决Leetcode动态规划专题（共38道）1.Leetcode509. 斐波那契数2.Leetcode70. 爬楼梯3.Leetcode746. 使用最小花费爬楼梯4.Leetcode62. 不同路径5.Leetcode63. 不同路径 II6.Leetcode343. 整数拆分7.Leetcode96. 不同的二叉搜索树8.Leetcode416. 分割等和子集9.Leetcode1049. 最后一块石头的重量 II10.Leetcode494. 目标和11.Leetcode474. 一和零12所遇到的程序开发问题。

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