matlab求随机过程的数学期望,【matlab】MarkDown Letex 编码 之 随机过程及应用（三） - 高斯分布/正态分布的期望和方差...

**Provement of Gaussian Distribution：**

设正态分布概率密度函数是

$$f(x)=frac{1}{sqrt{2π}sigma}*e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma^2}} $$

于是：

$$int^{+infty}_{-infty} frac{e^{-(x-u)^2}}{2sigma^2}dx=(sqrt {2π})t. (*) $$

积分区域是从负无穷到正无穷.

|| **1.expectation:

对 $(*)$ 式两边对 $u$ 求导：

$$int^{+infty}_{-infty} {e^{frac {-(x-u)^2}{2sigma^2}}* frac{-2(x-u)}{2sigma^2}}dx=0 $$

约去常数,再两边同乘以 $frac{sigma}{sqrt{2π}}$ 得：

$$int^{+infty}_{-infty} e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma ^2}}*frac{-(x-u)}{sqrt{2π}sigma} dx=0 $$ or$$int^{+infty}_{-infty} e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma ^2}}*frac{x-u}{sqrt{2π}sigma} dx=0 $$

把 $x-u$ 拆开,再移项：

$$int^{+infty}_{-infty} e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma ^2}}*frac{x}{sqrt{2π}sigma} dx$$

$$=int^{+infty}_{-infty} e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma ^2}}*frac{u}{sqrt{2π}sigma} dx$$

也就是

$$int^{+infty}_{-infty}x*f(x)dx=int^{+infty}_{-infty}u*f(x)dx$$$$=u*1=u $$

到这一步证明了 $expectation$ 就是 $u$.

|| **2.variance

对 $(*)$ 式两边对 $sigma$ 求导：

$$int^{+infty}_{-infty}frac{(x-u)^2}{sigma^3}*e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma^2}}dx=sqrt{2π} $$

移项：

$$int^{+infty}_{-infty}frac{(x-u)^2}{sqrt{2π}sigma} *e^{frac{-(x-u)^2}{2sigma^2}}dx={sigma^2}$$

也就是:

$$int^{+infty}_{-infty}(x-u)^2*f(x)dx=sigma^2 $$

到这一步证明了 $variance$ 就是 $sigma^2$.

从而 $Gaussian Distribution $ 得证.

* * 第一

* * 第二

* * 参考Davide Giraudo的方法。