广义Pareto分布---极值理论的学习3

68 阅读 0 评论 45 点赞

我是靠谱客的博主刻苦纸飞机，最近开发中收集的这篇文章主要介绍广义Pareto分布---极值理论的学习3，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

看《实用极值统计方法》-----史道济所得。

前言

上一节中，我们讨论了通过观测超过阈值 $mu$ 的观测值，并用超阈值分布或超出量分布函数来描述，以充分利用观测值数列中的信息。但是，在一般情况下，观测值序列的底分布 $F(x)$ 我们并不知道。于是，我们就要考虑它们的极限分布，就像GEV分布描述最大值的极限分布一样，我们也希望能够找到超出量的极限分布。

一、广义Pareto分布

定义：如果随机变量X的分布函数为

$G(x;mu,delta,varepsilon )=1-(1+varepsilon frac{x-mu}{delta})^{-1/varepsilon } ,xgeq mu,1+varepsilon (x-mu)/delta>0$

则称X服从广义Pareto分布，简记为GPD或GP分布。其中 $mu in R$ 是位置参数， $delta >0$ 为尺度参数， $varepsilon in R$ 为形状参数。

另一种表示方法：

ParetoⅠ型分布： $G_{1}(x;mu,delta)=left{begin{matrix} 1-e^{-frac{x-mu}{delta}},xgeq mu\ 0,x<mu end{matrix}right.$

ParetoⅡ型分布： $G_{2}(x;mu,delta,alpha )=left {begin{matrix} 1-(frac{x-mu}{delta})^{-alpha },xgeq mu+delta\ 0,x<mu+delta end{matrix}right.,alpha >0$

ParetoⅢ型分布： $G_{3}(x;mu,delta,alpha )=left{begin{matrix} 0,x<mu-delta\ 1-(-frac{x-mu}{delta})^{alpha },mu-deltaleq xleq mu\ 1,x>mu end{matrix}right.,alpha >0$

当 $mu=0,delta=1$ 时，称为标准GPD。可以看出，当 $ln H_{i}>-1$ 时，有 $G_{i}=1+ln H_{i}$ 。可见，广义极值分布和广义Pareto分布之间有着非常密切的关系。当 $mu = 0,delta>0$ 时，分布函数 $G(x;0,delta,varepsilon )$ 有重要作用，称为二参的广义Pareto分布，简记为 $G(x;delta,varepsilon )$ 。

不难求出，其密度函数为：

$g(x;mu,delta,varepsilon )=frac{1}{delta}(1+varepsilon frac{x-mu}{delta})^{-1/varepsilon -1},xgeq mu,1+varepsilon (x-mu)/delta>0$

另一种表示方法：

$g_{1}(x;mu,delta)=frac{1}{delta}e^{-frac{x-mu}{delta}},xgeq mu$

$g_{2}(x;mu,delta,alpha )=frac{alpha }{delta}(frac{x-mu}{delta})^{-alpha -1},xgeq mu+delta;alpha >0$

$g_{3}(x;mu,delta,alpha )=frac{alpha }{delta}(-frac{x-mu}{delta})^{alpha -1},mu-deltaleq xleq mu,alpha >0$

二、广义Pareto分布的性质

同极值分布一样，根据Gamma函数的性质，可以很方便地求出广义Pareto分布地数字特征。这里，只给出二参广义Pareto分布 $G(x;delta,varepsilon )$ 的数字特征。

性质：设随机变量X服从广义Pareto分布 $G(x;delta,varepsilon )$ ，则当 $varepsilon <1/k$ 时，

$E(X^{k})=frac{delta^{k}F(varepsilon ^{-1}-k)}{varepsilon ^{k+1}F(1+varepsilon ^{-1})}k!$ ，其中F(x)为Gamma函数。

定义：对于给定的分布函数 $F(x)$ ，如果存在常数 $a_{n},b_{n}$ ，使得对任何实数 $x$ ，都有

$F_{mu}(a_{n}x+b_{n})=F(x)$

其中 $F_{mu}(y)=P_{r}(X-muleq y|X>mu)$ 是超出量分布函数，则称分布函数 $F(x)$ 具有POT稳定性，或称分布函数 $F(x)$ 是POT稳定分布。

性质：广义Pareto是POT稳定分布。

性质：广义Pareto分布的超出量分布函数仍然是GP分布，且形状参数不变。

定义：设随机变量X的分布函数为 $F(x)$ ， $x^{*}$ 为 $F(x)$ 支撑的上端点，X超过阈值 $mu$ 的超出量分布为 $F_{u}(x)$ ，如果存在广义Pareto分布 $G(x)$ ，使得

$lim_{murightarrow x^{*}}F_{u}(x)=G(x)$

则称X（或分布函数 $F(x)$ )属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义极值分布属于广义Pareto分布的POT吸引场。

性质：广义Pareto分布属于广义极值分布的最大值吸引场。

定理：设 $X_{1},X_{2},cdot cdot cdot$ 为独立同分布随机变量，分布函数为 $F(x)$ 。令 $M_{n}=max { X_{1},cdot cdot cdot ,X_{n} }$ ，如果存在规范化数列 ${ a_{n}>0 },{ b_{n} }$ ，使得对足够大的n，有

$P_{r}(M_{n}leq a_{n}x+b_{n})approx H(x;mu,delta,varepsilon )$

其中 $H(x;mu,delta,varepsilon )$ 是广义极值分布，则对于足够大的阈值 $u$ ，在 $X>mu$ 的条件下， $X-u$ 的分布近似于GP分布

$G(y;delta',varepsilon )=1-(1+varepsilon y/delta)^{-1/varepsilon },y>0;1+varepsilon y/delta'>0$

其中 $delta'=delta+varepsilon (u-mu)$ 。

性质：GP分布的平均超出量函数为

$e(u)=frac{delta+varepsilon (u-mu)}{1-varepsilon }$ 。

定义：设随机变量X的分布函数为 $F(x)$ ，对应的密度函数为 $f(x)$ ， $x^{*}$ 是 $F(x)$ 支撑的上端点，对于给定的 $t<x^{*}$ 称

$q(t)=frac{f(t)}{1-F(t)}$

为随机变量X（或分布F）的危险率函数。