连续计算平均数和方差

问题：对数列$x[n]$,计算其平均数$m[n]$,方差$v[n]$，平均数m[n]为x[1]到x[n]之间数的平均值v[n]为x[1]到x[n]之间的方差
$$\begin{gathered} m[n]=\sum _1^n(\frac{x[i]}{n}) \\ v[n]=\sum _i^n(\frac{(x[i]-m[n]{)}^2}{n}) \end{gathered}$$

这个问题用通用的方法计算没有问题，但是效率会比较低。因为计算后面的平均数和方差时，前面的数重复累加计算了多次。对于平均数m[n]，一个简单的优化方法就是设置一个累加序列s[n],s[i]为x[0]到x[i]之间数的和。这样计算平均数m[n]，很容易从s[n]得到，计算方差呢？也可以设置另一个累加序列s2[n]，s2[i]为x[0]到x[i]之间数的平方和。
$$\begin{gathered} s[n]=\sum _1^n(x[i]) \\ m[n]=\frac{s[n]}{n} \\ s2[n]=\sum _1^{n}x[i{]}^2 \\ v[n]=\frac{{\sum }_1^{n}x[i{]}^2+n\ast m[n{]}^2-2\ast m[n]\ast {\sum }_1^{n}x[i]}{n} \\ =\frac{s2[n]+n\ast m[n{]}^2-2\ast m[n]\ast s[n]}{n} \end{gathered}$$
但是这种方法需要另外再多加两个数组s[n]和s2[n]。下面介绍一种更好的方法，据说来自Donald Knuth 的《计算机程序设计艺术》第二卷，但是我粗略在这本书中找了一下没有找到。我是在《Learning JavaScript JavaScript Essentials for Modern Application Development》这本书中介绍reduce方法(P140)看到的，觉得这种递推方法很漂亮。下面进行推导：
$$\begin{gathered} m[n]=\sum _1^n(\frac{x[i]}{n}) \\ =\frac{{\sum }_1^{n-1}x[i]+x[n]}{n} \\ =\frac{{\sum }_1^{n-1}x[i]}{n-1}\ast \frac{n-1}{n}+\frac{x[n]}{n} \\ =m[n-1]\ast \frac{n-1}{n}+\frac{x[n]}{n} \\ =\frac{n\ast m[n-1]-m[n-1]+x[n]}{n} \\ =m[n-1]+\frac{x[n]-m[n-1]}{n} \end{gathered}$$
方差的计算有点区别，先计算其二阶矩。
$$\begin{gathered} M2[n]=\sum _1^n(x[i]-m[n]{)}^2 \\ =\sum _1^n(x[i]-m[n-1]-\frac{x[n]-m[n-1]}{n}{)}^2 \\ =\sum _1^n(x[i]-m[n-1]{)}^2+\frac{(x[n]-m[n-1]{)}^2}{n}-2\ast \frac{x[n]-m[n-1]}{n}\ast \sum _1^{n}x[i]-m[n-1] \\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1]{)}^2+\frac{(x[n]-m[n-1]{)}^2}{n}-2\ast \frac{(x[n]-m[n-1]{)}^2}{n} \\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1]{)}^2-\frac{(x[n]-m[n-1]{)}^2}{n} \\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])\ast (x[n]-m[n-1]-m[n]+m[n-1]) \\ =M2[n-1]+(x[n]-m[n-1])\ast (x[n]-m[n]) \end{gathered}$$

m[n]和M2[n]计算都有一个$x[n]-m[n-1]$项，M2[n]还有一项很相似的$x[n]-m[n]$，并且都是累加的形式。虽然计算v[n]还需要先计算M2[n]，似乎还是多了一个临时数组。

最后

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