一、Laplace变换

如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程：

正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分方程的有力工具。

但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中的电阻器 ®、 电容器 © 和电感元件 (L)变换到s域。

于是这个电路可以看作一个分压器

$$\frac{V_C(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1/Cs}{R+1/Cs}=\frac{1}{1+RCs}$$

下面便引出系统的传输函数。

二、传递函数

$$Y(s)=H(s)X(s)$$
H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = L { y ( t ) } L { x ( t ) } H(s)=frac{Y(s)}{X(s)} = frac{ mathcal{L} left{ y(t) right} }{mathcal{L} left{ x(t) right} } H(s)=X(s)Y(s)​=L{x(t)}L{y(t)}​

而当系统为封闭回路的负反馈系统时：

由上图可得：

$$Y(s)=Z(s)G(s)\Rightarrow Z(s)=\frac{Y(s)}{G(s)}$$
$$X(s)-Y(s)H(s)=Z(s)=\frac{Y(s)}{G(s)}\Rightarrow X(s)=Y(s)\left[1+G(s)H(s)\right]/G(s)$$
$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

三、零极点

考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：

从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系：
傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 $j\omega$ 上的求值。

由此，引出波特图。

四、波特图

$$H(j\omega )=\frac{\overrightarrow{N}}{\overrightarrow{M_1}\overrightarrow{M_2}}=\frac{j\omega -z_1}{(j\omega -p_1)(j\omega -p_2)}$$

表示为幅度（取对数）和相位：

$$20{\log }_{10}|H(j\omega )|=20{\log }_{10}\frac{|j\omega -z_1|}{|j\omega -p_1||j\omega -p_2|}$$
$$\angle H(j\omega )=e^{j(\alpha 1-\alpha 2-\alpha 3)}$$

其中 $\alpha 1,\alpha 2,\alpha 3$ 为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。

下面以一个低通RC滤波器电路举例：

$$H(jf)=\frac{1}{1+j2\pi fRC}$$
$${\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{1}{RC}$$
$$H(j\omega )=\frac{1}{1+j\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}}$$

画出波特图如下：

下面介绍如何得到上图。

增益图

$$A_{\mathrm{vdB}}=20\log |H(j\omega )|=20\log \frac{1}{\left|1+j\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}\right|}$$
$$=-20\log \left|1+j\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}\right|=-10\log \left[1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{\mathrm{c}}^2}\right]$$

• 在角频率小于${\omega }_{\mathrm{c}}$ 时，因$\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}$ 项较小，相对 1 而言可以忽略，因此其增益值为定值1，在增益图上是一条位在 0dB 的水平线
• 在角频率大于${\omega }_{\mathrm{c}}$ 时，因$\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}$ 项较大，相对而言 1 可以忽略，因此式子简化为 $-20 log {omega over {omega_mathrm{c}}} $ , 是斜率为-20dB/十倍频的斜线
• 在角频率等于${\omega }_{\mathrm{c}}$ 时，$-10\log \left[1+\frac{{\omega }^2}{{\omega }_{\mathrm{c}}^2}\right]=-10\log 2=-3dB$，因此该点为 -3dB 转折点

相位图

$$\phi =-{\tan }^{-1}\frac{\omega }{{\omega }_{\mathrm{c}}}$$

• 其中 $ omega$ , ${\omega }_{\mathrm{c}}$ 分别是输入角频率及截止角频率。 当输入角频率远小于截止角频率时，$\frac{\omega }{{\omega }_c}$比例的数值很小，因此相位角接近零度。
• 当频率增加，相位角的绝对值也随之增加。在时 $\omega ={\omega }_c$ 时 为-45度。
• 当输入角频率远大于截止角频率时，相位角会趋近-90度。

关于波特图一点说明

注意 ：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移45度。

有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？

其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只有当零点或者极点真的出现在虚轴 $j\omega$ 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。

五、稳定性

巴克豪森判据：

对于一个负反馈系统：

$$\frac{Y}{X}(s)=\frac{H(s)}{1+\beta H(s)}$$
$\beta H(s)=-1$ 则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：

$$|\beta H(s)|\ge 1$$
$$\angle \beta H(s)=-180^o$$

上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然是无界的。

因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）

上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）

奈奎斯特判据

如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：

图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。

另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。

六、反馈、相位裕度、稳定性的关系

相位裕度

此处参照sansen书中方法

定义开环增益

$$A_O=G$$
$$A_c=\frac{G}{1+GH}\approx \frac{1}{H}$$
$$dB(\frac{A_O}{A_c})=dB(A_O)-dB(A_c)\approx dB(GH)$$

图中 $A_O$ 曲线与 $A_c$ 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即$A_O/A_c=1$，就是环路增益降到单位增益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。

（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）

GBW

上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。

$$20\log A_O-10\log (1+(\frac{\omega }{{\omega }_{major}}{)}^2)=0$$
$$\omega \approx A_O\times {\omega }_{major}\approx A_c\times {\omega }_c$$

注意：

• GBW点其实是约等于的结果，但在对数图中可以看作不变。
• 另外，对于多极点系统，还是看第一个主极点延长线与实轴的交点，即$GBW={\omega }_1\cdot A_O$。
• 反馈系数改变，闭环增益相位曲线 $\angle \frac{Y}{X}(j\omega )$ 是会改变的；而环路增益相位曲线 $\angle \beta H(j\omega )$ 不变。
• sansen书中看闭环增益转折点求PM，其实它对应的是开环增益的相位图，如下图，所以不要被迷惑。之所以这样，是因为双极点系统，总相移肯定是180度。

而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。

相位裕度、极点位置、尖峰相互关系

环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。

开环增益

$$H(j\omega )=\frac{A_O}{(1+j\frac{\omega }{{\omega }_1})(1+j\frac{\omega }{{\omega }_2})}$$
$$\frac{Y}{X}=\frac{H}{1+\beta H}=\frac{A_O}{\beta A_O+j\omega (\frac{1}{{\omega }_1}+\frac{1}{{\omega }_2})+\frac{(j\omega {)}^2}{{\omega }_1{\omega }_2}}$$

因为 $A_O\times {\omega }_1=GBW$, 所以
$$\frac{Y}{X}\approx \frac{1}{1+\frac{j\omega }{\beta GBW}+\frac{(j\omega {)}^2}{\beta GBW{f}_2}}$$
$$=\frac{1}{1+2\frac{\zeta }{{\omega }_n}j\omega +\frac{(j\omega {)}^2}{({\omega }_n{)}^2}}$$

其中 $\zeta$ 为阻尼因子，${\omega }_n$ 为谐振频率。

PM的求解需要解释一下：

因为 $PM=180^o+\angle H(GX)$， 而对于双极点系统，有

$$\angle \omega =e^{-j(\arctan \frac{\omega }{{\omega }_1}+\arctan \frac{\omega }{{\omega }_2})}$$

而对于 $\omega =GX$ 这个点，因为 $GX>>{\omega }_1$ 所以第一级已经达到90度相移。另外

$$GX={\omega }_1(1+\beta A_O)\approx \beta {\omega }_1{A}_O=\beta \cdot GBW$$

$$PM=180^o-90^o-\arctan \frac{GX}{{\omega }_2}=90^o-\arctan \frac{\beta \cdot GBW}{{\omega }_2}$$

可得

$${\omega }_n=\sqrt{GBW\cdot {\omega }_2\cdot \beta }$$
$$\zeta =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\omega }_2}{GBW\cdot \beta }}$$
$$PM=90^o-\arctan \frac{\beta \cdot GBW}{{\omega }_2}$$

结论

由信号系统知识可知：

• $\zeta >1$， 二阶系统为两个实数极点，其实是两个一阶系统相乘；对应情况为第二个极点 ${\omega }_2$ 非常远（比如3GBW处，此时相位裕度60度～70度）；
• $0<\zeta <1$， 两个共轭极点，为一个谐振系统；在闭环传输函数转折点出现尖峰。
• 第二个极点越近（${\omega }_2$ 越小），相位裕度越小，$\zeta$ 越小，尖峰越高，越不稳定！

有激励的输入响应

如图，输入信号为
$$\frac{1}{s-j\omega }$$

电路的传递函数为
$$H(s)=\frac{1}{sRC+1}$$

所以输出信号(s域)为
$$V_{out}(s)=\frac{1}{sRC+1}\cdot \frac{1}{s-j\omega }$$
$$=\frac{A}{s-j\omega }+\frac{B}{sRC+1}$$

其中
$$A=\frac{1}{j\omega RC+1}\leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(\omega RC{)}^2+1}}\cdot e^{j(-\alpha )}$$
$$B=\frac{-RC}{j\omega RC+1}\leftrightarrow \frac{RC}{\sqrt{(\omega RC{)}^2+1}}\cdot e^{-j\alpha }$$
$$\frac{1}{s-j\omega }\leftrightarrow e^{j\omega t}$$
$$\frac{1}{sRC+1}\leftrightarrow e^{-\frac{t}{RC}}$$

所以输出信号时域为
$$V_{out}(t)=\frac{1}{\sqrt{(\omega RC{)}^2+1}}\cdot e^{j(\omega t-\alpha )}-\frac{RC}{\sqrt{(\omega RC{)}^2+1}}\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\cdot e^{-j\alpha }$$
$$\tan \alpha =\omega RC$$

上式中，第一项为稳态响应，第二项是一个随时间衰减的量。这就解释了为什么我们要求系统的极点要在s平面的左半平面，这样系统才不会发散。

更新日志

2017年2月11日

来自eetop网友的两个问题补充。

问题原文：

楼主的文章仔细看过，写的很好，特来学习，有2个问题向楼主请教下:

1. 其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点，这个很难理解
2. 只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。比如一对虚轴上的共轭极点，计算确实使输出无穷大，但在时域上，对应的却是一个固定幅度的正弦波，并没有振荡啊，这怎么理解呢？

问题解释：

1. 问题一我觉得是因为术语的定义给人们带来了误解。

   我们在信号系统还有控制理论中学过的零极点，就是系统拉普拉斯变换后传输函数的分子分母解出来的根，这个根（零点极点）可以是整个s平面上任意一个点。但是很多书中讲传输函数，波特图时候并没有把这个零点，极点的概念讲清楚。
   

2. 问题二是正弦函数拉普拉斯变化引入的数学问题，正弦函数傅立叶变换本来就是两个冲击函数，反过来虚轴上两个共轭极点的逆变换是稳态的正弦波也就不足为奇。

   这个可以参考知乎上这个解答如何理解正弦函数的傅立叶变换？

   而且两个共轭极点构成一个二阶系统，二阶系统与一阶系统的分析方法有所不同。更高阶的系统最低能分解为多个一阶与二阶系统来分析。

最后

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