OpenGL画bezier曲线

Bezier Curve算法是根据参数曲线方程来得到光滑曲线的一种算法，曲线方程的参数由控制点决定。
其本质是由调和函数根据控制点插值而成，其参数方程如下：

其中Pi（i=0,1，…，n）为控制点的向量，

Bi,n(t)为伯恩斯坦Bernstein基函数，其多项式表示为：

线性Bezier Curve由两个控制点决定：

二次Bezier Curve由三个控制点决定：

三次Bezier Curve由四个控制点决定：

如下图，t = AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI，J即为Bezier曲线上的点

t取0到1的过程就把bezier曲线画出来了。

Bezier Curve的特点：

1、端点性质：通过起点和终点；
2、对称性：保持顶点位置不变，顺序颠倒，新曲线的形状不变，只是参数变化的方向相反；
3、凸包性：由二项式定理得知Bi,n(t)求和为1，即Bi,n(t)构成了Bezier曲线的一组权函数，因此Bezier曲线一定落在其控制多边形的凸包之中。
4、几何不变性：Bezier曲线的形状只与其控制点的相对位置有关，与坐标变化无关。

实现三次Bezier曲线函数的代码如下：vector用于储存构成曲线的点坐标，若每次都重新分配会导致堆溢出，因此每次都用同一内存空间

//用于存储画曲线的点坐标
float* vector = new float[2000];
float* bezierCurve(float step, float* points) {
 //一共有几个点
 int size = 1.0 / step;

 float t = 0.0f;
 //参考公式 Q(t)=(1-t)^3*P0 + 3t(1-t)^2*P1 + 3t^2(1-t)*P2 + t^3*P3
 for (int index = 0; index < size; index++, t += step) {
 vector[index * 3] = (1 - t)*(1 - t)*(1 - t)*points[0] + 3 * t*(1 - t)*(1 - t)*points[3]
    + 3 * t*t*(1 - t)*points[6] + t*t*t*points[9];
 vector[index * 3 + 1] = (1 - t)*(1 - t)*(1 - t)*points[1] + 3 * t*(1 - t)*(1 - t)*points[4]
    + 3 * t*t*(1 - t)*points[7] + t*t*t*points[10];
 vector[index * 3 + 2] = 0.0f;
 }

 return vector;
}

【部分运行效果】

用鼠标左键点击四个点，根据点的顺序画出三次Bezier曲线

改变点的顺序，得到新的Bezier曲线

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最后

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