行列式的按行/列展开

(n)维行列式的值:
[ |A| = sum_{c_1, dots, c_n} (-1)^r(s) a_{1,c_1}dots a_{n, c_n} ]
其中:

• (s = {c_1, dots, c_n})为((1, dots, n))的一个全排列.
• (r(s))为(s)的逆序数.

现将(|A|)按第(i)行展开.
[ |A| = sum_{c_i=1}^n (-1)^{r(s) - r(s-c_i)} a_{i, c_i} sum_{s-c_i} (-1)^{r'} a_{1, c_1}dots a_{k, c_k} dots a_{n, c_n} ]
其中:

• (k in [1, n], k neq i).
• (r(s - c_i))是 (s-c_i = c_1, dots, c_k,c_n)的逆序数.

现在的目标是求出((-1)^{r - r'})的值.
将删除第(i)项分为两步进行:

1. 将(c_i)向后逐个交换位置, 直到(c_i)成为序列(s)的最后一个数. 这个过程中, 因为交换位置, 逆序数的奇偶性变换次数为(n - i).
2. 将(c_i)删除. 因为它已经是序列的最后一个数了, 所以这个操作不会影响其余的数的逆序数. 令(j = c_i), 因为在它前面有(n-j)个比它大的数, 所以去掉(c_i)后, 逆序数减少(n-j). 每减一个1导致一次奇偶性变化. 所以删除(c_i)的操作导致(n-j)次奇偶性变化.

最后的变化次数为(2n - i - j) ((i, j)分别为(a_{i, c_i})的行号与列号). 所以:
[(-1)^{r - r'} = (-1)^{2n - i - j} = (-1)^{i + j}]

于是
[ |A| = sum_{j=1}^n (-1)^{i + j} a_{i, j} M_{i, j} ]
其中:
(M_{i, j} = sum_{s-c_i}(-1)^{r'} a_{1, c_1}dots a_{k, c_k} dots a_{n, c_n})为(a_{ij})的余子式