R语言--(8)--描述统计量

位置度量

均值 mean()

mean(x, trim=0, na.rm=FALSE)
函数的返回值是对象的均值

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)

向量的均值

w.mean <- mean(w); w.mean

参数 trim 取值在 0 至 0.5 之间，标识在计算均值需要去掉异常值的比例.利用这个参数可以有效的改善异常值的对计算的影响

w[1] <- 750
w.mean <- mean(w, trim=0.1); w.mean

参数 na.rm 是控制数据的参数

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, NA);w
w.mean <- mean(w,na.rm); w.mean

矩阵(数组)的均值

矩阵的行均值

矩阵的列均值

加权平均值 weighted.mean()

weighted.mean(x,w,na.rm=FALSE)

x是数组向量，w是数据的权，与x的维数相同

A <- c(80,90,95);A
B <- c(0.2,0.3,0.5);B

顺序统计量 sort()

设n个数据(观测值)按从大到小的顺序排列为 $$x_1\le x_2\le \cdots \le x_n$$ 称为顺序统计量(order statistic), 显然，最小顺序统计量为 $x_1$, 最大顺序统计量为 $x_n$

sort(x, partial=NULL, na.last=NA, decreasing=FALSE, method=c("shell","quick"), index.return=FALSE)

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)

由大到小排序

sort(w, decreasing=TRUE)

含 NA值 排序

w.na <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, NA, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)

排序相关函数 order()与 rank()

order() 给出排序后的下标
rank() 给出样本的秩统计量

中位数 median()

中位数(median, 记为 $m_e$)，定义为数据排序位于中间位置的值 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}_{(\frac{n+1}{2})},& \text{当n为奇数时}\\ \frac{1}{2}(x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)})& \text{当n为偶数时}\end{array}$$
中位数特点
描述数据中心位置的数据特征

1. 对于对称分布的数据特征，均值与中位数比较接近
2. 对于偏态分布的数据，均值与中位数不同
3. 中位数的显著特点是不受异常值的影响

median(x, na.rm=FALSE)

x <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5)

median(x)

对含有缺失值的向量取中位值

x.na <- c(75.0, 64.0, 47.4,NA, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5)
median(x.na)
median(x.na, na.rm = TRUE)

百分位数 quantile()

百分位数(percentile)是中位数的推广. 将数据按从小到大排列后，对于 $0\le p<1$, 它的p分位点定义为 $$m_p=\{\begin{array}{ll}{x}_{([np]+1)},& \text{当np不是整数时,}\\ \frac{1}{2}(x_{(np)}+x_{(np+1)})& \text{当np是整数时,}\end{array}$$
其中$[np]$ 表示 $np$ 的整数部分

1. p分位数又称第100p百分位数，大体上整个样本的100p的观测值不超过p分位数
2. 0.5分位数 $m_{0.5}$(第50百分位数)就是中位数$m_e$
3. 0.75分位数 $m_{0.75}$(第75百分位数)就是上四分位数$m_{0.75}$
4. 0.25分位数 $m_{0.25}$(第25百分位数)就是下四分位数$m_{0.25}$

quantile(x, probs = seq(0,1,0.25), na.rm = FALSE, names = TRUE, type = 7, ...)

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)

quantile(w)

quantile(w, probs=seq(0,1,0.2))

分散程度

方差

方差(variance) 是描述数据取值分散性的一个度量

样本方差(sample variance) var()

样本方差(sample variance) 记为 $s^2$, 是样本相对于均值的偏差平方和的平均 $$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$ 其中 $\bar{x}$是样本的均值。

var(x, y=NULL, na.rm=FALSE, use)

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
var(w)

样本标准差(standard deviation) sd()

样本标准差(standard deviation)，记为 $s$，即 $$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

sd(x, na.rm=FALSE)

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
sd(w)

变异系数(CV) 自编写函数

变异系数是刻划数据相对分散性的一种度量，记为 $CV$, $$CV=100\times \frac{s}{\bar{x}}(\%)$$

cv <- 100* sd(w) / mean(w); cv

样本校正平方(CSS) 自编写函数

$$CSS=\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

css <- sum((w-mean(w))^2); css

样本未校正平方(USS) 自编写函数

$$USS=\sum _{i=1}^n{x}_i^2$$

uss <- sum(w^2); uss

极差 自编写函数

样本极差(记为R)
$$R=x_{(n)}-x_{(1)}=max(x)-min(x)$$
其中x是由样本构成的向量.
样本极差是描述样本分散性的数字特征.
当数据越分散，其极差越大.

Range <- max(w) - min(x); Range

半极差/四分位差 自编写函数

样本上、下四分位数之差称为四分位差(或半极差), 记为 $R_1$, 即 $$R_1=Q_3-Q_1$$
对于具有异常值的数据，对于分散性具有稳健性.

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
quantile(w)
R1 <- quantile(w)[4] - quantile(w)[2]; R1

quantile(w,3/4) -quantile(w,1/4)

样本标准误 自编写函数

样本标准误，记为 $S_m$ 定义为 $$s_m=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}=\frac{s}{\sqrt{n}}$$

sm <- sd(w) / (sqrt(length(w))); sm

分布形状的度量

偏度系数(Skewness) 自编写函数

样本的偏度系数，记为$g_1$的计算公式：
$$g_1=\frac{n}{(n-1)(n-2)s^3}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3=\frac{n^2{\mu }_3}{(n-1)(n-2)s^3}$$
其中:
$s$ 是标准差
${\mu }_3$ 是样本3阶中心矩, 即 $${\mu }_3=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^3$$
偏度系数是刻划数据的对称性指标

1. 均值对称的数据，其 $Skewness=0$
2. 右侧更分散的数据，其 $Skewness>0$
3. 左侧更分散的数据，其 $Skewness<0$

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
n <- length(w); n
m <- mean(w); m
s <- sd(w); s
g1 <- n/((n-1)*(n-2))*sum((w-m)^3)/s^3; g1

峰度系数(Kurtosis) 自编写函数

样本的峰度系数，记为 $g_2$ 的计算公式为：
$$\begin{array}{rl}{g}_2& =\frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^4-3\frac{(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)}\\ & =\frac{n(n+1){\mu }_4}{(n-1)(n-2)(n-3)s^4}-3\frac{(n-1{)}^2}{(n-2)(n-3)}\end{array}$$
其中：
$s$ 是标准差
${\mu }_4$ 是样本4阶中心矩, 即 $${\mu }_4=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^4$$
特点

1. 当数据的总体分布为正态分布时，$Kurtosis\approx 0$
2. 当分布较正态分布的尾部更分散时，$Kurtosis>0$，两侧极端数据较多
3. 当分布较正态分布的尾部更聚拢时，$Kurtosis<0$，两侧极端数据较少

w <- c(75.0, 64.0, 47.4, 66.9, 62.2, 62.2, 58.7, 63.5, 66.6, 64.0, 57.0, 69.0, 56.9, 50.0, 72.0)
n <- length(w); n
m <- mean(w); m
s <- sd(w); s
g2 <- ((n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))*sum((w-m)^4)/s^4 - (3*(n-1)^2)/((n-2)*(n-3))); g2

编写一个综上的统计函数

data_outline <- function(x){
n <- length(x);
m <- mean(x);
v <- var(x);
s <- sd(x);
me <- median(x);
cv <- 100*s/m;
css <- sum((x-m)^2);
uss <- sum(x^2);
R <- max(x)-min(x);
R1 <- quantile(x,3/4) - quantile(x,1/4);
sm <- s/sqrt(n);
# 标准误
g1 <- n/((n-1)*(n-2))*sum((x-m)^3)/s^3;
g2 <- ((n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))*sum((x-m)^4)/s^4 - (3*(n-1)^2)/((n-2)*(n-3)));
data.frame(N=n, Mean=m, Var=v, std_dev=s, Median=me, std_mean=sm, CV=cv, CSS=css, USS=uss, R=R, R1=R1, Skewness=g1, Kurtosis=g2, row.names=1);
}

最后

以上就是优雅酸奶为你收集整理的R语言--(8)--描述统计量的全部内容，希望文章能够帮你解决R语言--(8)--描述统计量所遇到的程序开发问题。

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