FFTNTT代码技巧

这篇博客是拿来解释FFT模板中那些过度压行的产物的。
1.

int& upd(int &x){ return x+=x>>31&mod; }

所有负数$x>>31$后为$-1$
所以这个是快速将负数加上一个$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$
为啥搞负数？
因为我们可以在每次加法后$-mod$，减法后不管，然后调用这个函数。
这个也可以用在乘负数，模完之后再把负的答案调回正的，
反正大家的加法取模优化都要非负环境。

2.预处理单位根

	w[Wl] = 1;
	rep(i,Wl+1,Wl2-1) w[i] = 1ll * w[i-1] * pw % mod;
	per(i,Wl-1,1) w[i] = w[i<<1];

因为就算我们需要n次单位根，但是只需要一半。
所以我们就把$n$次单位根存在$[\frac{n}{2},n-1]$的位置上。
对于$\frac{n}{2}$次单位根等也同理。

3.NTT的$\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 优化

void NTT(int *A,int n,int tp){
	static int r[maxn];
	static unsigned long long a[maxn];
	if(tp^1) reverse(A+1,A+n);
	rep(i,0,n-1) r[i] = r[i>>1]>>1|(i&1)<<lg[n]-1,a[i] = (A[r[i]] += A[r[i]] >> 31 & mod);
	for(int L=1;L<n;L<<=1) for(int s=0,L2=L<<1;s<n;s+=L2) for(int k=s,x=L,t;k<s+L;k++,x++)
		t=w[x]*a[k+L]%mod,a[k+L]=a[k]-t+mod,a[k]+=t;
	rep(i,0,n-1) A[i] = a[i] % mod;
	if(tp^1) rep(i,0,n-1) A[i] = 1ll * A[i] * inv[n] % mod; 
}

首先如果是$IDFT$，我们可以翻转数组后做，这是因为${\omega }_n^i=-{\omega }_n^{n-i}$
刚好是我们需要的变换，这样我们就只需要一半的单位根即可完成$DFT$。
多写写$FFT$就可以发现是可以简化到循环内只有3条加减乘除语句的。
一次乘法，两次加减。
可以使用函数优化加减取模，但这还是不够快。
可以使用$\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$后加减完全不模。
但是这个方法有点险但是实际上很稳。
因为模数都是$998244353$，
分析一下加减对于每个数都只有 $O(\log n)$次，我们把这个数字在下面估计为$20$。
那么最坏情况，
在乘法的时候，可以造成一个$998244353\times (998244353\log n)=19929835765927772180>2^{64}=18446744073709551616$
位数太多不直观，我们取个${\log }_{10}$
${\log }_{10}19929835765927772180=19.29950371986229427535856388548$
${\log }_{10}18446744073709551616=19.265919722494796493679289262368$
毫厘之差。
但是，单位根是均匀分布的。
$FFT$的蝴蝶变换是复杂的。
所以平均情况下大概的平均数值要在上面的基础上$÷4$，也就是开$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$就行的范围。
但是这只是平均，$n$个位置都经过$\log$轮变换后炸$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{g}$的概率还是很高的（$n=10000$都能炸）。
最坏情况的平均值应该是在$19929835765927772180÷2$，
因为每次加减的数有均匀的单位根加权，大概只会加一半。
但是经过实际测试最坏情况的测试最大值和$n$大概有如下关系：
$n=10000$时 , $1.1\times 2^{63}$
$n=100000$时 , $1.3\times 2^{63}$
$n=1000000$时 ， $1.6\times 2^{63}$
再大就超过$FFT$的适用范围了。
注意这个是最坏情况的测试最大值，也就是随机了很多组也构造了很多组(但是构造的数据并没有比随机的强很多)后最坏情况的最大值。
实际上用这个方法写个仙人掌计数跑$1e5$可以跑进$0.5s$
有图为证，目前为$rk2$

实际上理论最坏的情况比我们的最大容忍值只大了一丁点，实际运行（我真的认为）毫无问题。
事实上$\frac{2^{64}}{998244353^2}=18.51168699066378905130903454712$
这，$1e5$是不会出任何问题的，只要你不把$>998244353$的数拿进去$NTT$。

大于$3e5$的多项式题在如今高级算法迭起，动不动$O(n\log n)$跑$3s$的$OI$界是真的不会有太多的。
所以我会一直用这个方法来写我的多项式题。

最后

以上就是酷炫蜜粉为你收集整理的FFTNTT代码技巧的全部内容，希望文章能够帮你解决FFTNTT代码技巧所遇到的程序开发问题。

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