从隐函数存在定理到隐函数定理

我们已经知道,隐函数存在定理叙述如下:

Theorem 1 (隐函数存在定理) 设 $ f:mathbf{R}^{n+m}rightarrowmathbf{R}^m$ 为连续可微函数, $ mathbf{R}^{n+m}$ 中的元素写 成$ mathbf{(x,y)}=(x_1,cdots,x_n,y_1,cdots,y_m)$ 的形式.对于任意 一 点$ (mathbf{a,b}) = (a_{1},cdots, a_{n}, b_{1},cdots,b_m)$ 使 得$ f(mathbf{a,b}) = 0$,隐函数存在定理给出了一个充分 条件,用来判断 能否在$ (mathbf{a,b})$附近定义一 个$ mathbf{y}$关于$ mathbf{x}$的函数$ g$,使得只 要$ f(mathbf{x,y})=0$,就有 $ mathbf{y}=g(mathbf{x})$.严格地说,就是存 在$ mathbf{a}$和$ mathbf{b}$的邻域$ U$ 和 $ V$,使得$ g$是 从 $ U$ 到 $ V$ 的函数,并 且$ g$的函数图像满足

$ {displaystyle {(mathbf{x},g(mathbf{x}))}={ (mathbf{x},mathbf{y}) | f(mathbf{x},mathbf{y}) =0 }cap(Utimes V).}$

要使的这样的函数$ g$存在,函数$ f$ 的雅可比矩阵一定要满足一定的性质.对于 给 定的一点 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩阵写做

$ {displaystyle (Df)(mathbf{a},mathbf{b})=left[begin{matrix}frac{partial f_1}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots&frac{partial f_1}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots&ddots&vdots\ frac{partial f_m}{partial x_1}(mathbf{a},mathbf{b})&cdots&frac{partial f_m}{partial x_n}(mathbf{a},mathbf{b}) end{matrix}right|left. begin{matrix} frac{partial f_1}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_1}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ vdots & ddots & vdots\ frac{partial f_m}{partial y_1}(mathbf{a},mathbf{b}) & cdots & frac{partial f_m}{partial y_m}(mathbf{a},mathbf{b})\ end{matrix}right]=[X|Y]}$

隐函数存在定理说明了:如果 $ Y$ 是一个可逆的矩阵,那么满足前面性质的$ U,V$ 和函数 $ g$ 就会存在.

当矩阵 $ Y$ 可逆时,我们建立了 $ mathbf{y}$ 和 $ mathbf{x}$ 的函数关系 $ mathbf{y}=g(mathbf{x})$,下面我们来证明函数 $ g$ 是连续可微的.也就是 证明函数 $ g$ 的雅可比矩阵

$ {displaystyle begin{pmatrix} frac{partial y_1}{partial x_1}&cdots&frac{partial y_1}{partial x_n}\ vdots&cdots&vdots\ frac{partial y_m}{partial x_2}&cdots&frac{partial y_m}{partial x_n}\ end{pmatrix} }$

存在,并且各项关于 $ mathbf{x}$ 连续.为此,我们先来求 $ z=f(mathbf{x},g(mathbf{x}))$ 关于变量 $ mathbf{x}$ 的导数.根据复合函数的求导法则,易得结果为 begin{align*}
frac{partial z}{partial mathbf{x}}&=begin{pmatrix}
  frac{partial f}{partial x_1}+sum_{k=1}^m frac{partial
    f}{partial y_k}frac{partial y_k}{partial
    x_1}&cdots frac{partial f}{partial
    x_j}+sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial y_{k}}frac{partial y_k}{partial x_j}&cdots&frac{partial f}{partial x_n}+sum_{k=1}^m
  frac{partial f}{partial y_k}frac{partial y_k}{partial x_n}
end{pmatrix}\&=begin{pmatrix}
  frac{partial f}{partial x_1}&cdots&frac{partial f}{partial
    x_j}&cdots&frac{partial f}{partial x_n}end{pmatrix}+begin{pmatrix}
    sum_{k=1}^m frac{partial
    f}{partial y_k}frac{partial y_k}{partial
    x_1}&cdots&sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial y_{k}}frac{partial y_k}{partial x_j}&cdots&sum_{k=1}^m
  frac{partial f}{partial y_k}frac{partial y_k}{partial x_n}
end{pmatrix}\&=begin{pmatrix}
  frac{partial f}{partial x_1}&cdots&frac{partial f}{partial
    x_j}&cdots&frac{partial f}{partial x_n}
end{pmatrix}+begin{pmatrix}
  frac{partial f}{partial y_1}&cdots&frac{partial f}{partial y_m}
end{pmatrix}begin{pmatrix}
  frac{partial y_1}{partial x_1}&cdots&frac{partial
    y_1}{partial x_n}\
vdots&cdots&vdots\
frac{partial y_m}{partial x_2}&cdots&frac{partial y_m}{partial x_n}\
end{pmatrix}.
end{align*}
由于矩阵

$ {displaystyle begin{pmatrix} frac{partial f}{partial y_1}&cdots&frac{partial f}{partial y_m} end{pmatrix} }$

可逆,因此可得

$ {displaystyle begin{split} begin{pmatrix} frac{partial y_1}{partial x_1}&cdots&frac{partial y_1}{partial x_n}\ vdots&cdots&vdots\ frac{partial y_m}{partial x_2}&cdots&frac{partial y_m}{partial x_n}\ end{pmatrix}=begin{pmatrix} frac{partial f}{partial y_1}&cdots&frac{partial f}{partial y_m} end{pmatrix}^{-1} left[frac{partial z}{partial mathbf{x}}-begin{pmatrix} frac{partial f}{partial x_1}&cdots&frac{partial f}{partial x_j}&cdots&frac{partial f}{partial x_n} end{pmatrix}right]. end{split} (1)}$

因此 $ g$ 的雅可比矩阵存在,且由式 1 顺便推出了 $ g$ 的雅可 比矩阵关于 $ mathbf{x}$ 的连续性.顺便还推出了 $ g$ 的雅可比矩阵的公式! 这就是隐函数定理!