《数学分析新讲》_张筑生,12.5节:隐函数定理(2)

本文继承《数学分析新讲》_张筑生,12.5节,隐函数定理(1).

设函数$F(x,y)$在包含$(x_0,y_0)$的一个开集$Omega$上连续可微，且满足条件

begin{equation}
F(x_0,y_0)=0,frac{partial F}{partial y}(x_0,y_0)neq 0,
end{equation}
则存在以$(x_0,y_0)$为中心的开方块
begin{equation}
Dtimes EsubsetOmega
end{equation}
使得对任何一个$xin D$,恰好存在唯一一个$yin E$,满足方程begin{equation}F(x,y)=0end{equation}这就是说，方程$F(x,y)=0$确定了一个从$D$到$E$的函数$y=f(x)$.这函数$y=f(x)$在$D$连续可微，且它的导数可以按照下式计算:
begin{equation}
label{eq:22.13.11}
frac{d y}{d x}=-frac{frac{partial F}{partial
x}(x,y)}{frac{partial F}{partial y}(x,y)}
end{equation}(注意当$D$足够小的时候，$frac{partial F}{partial y}(x,y)$是不为零的，因为$F$在$(x_0,y_0)$处关于$y$的偏导数连续且不为零.)

证明:令区域$Dsubseteq Omega$,$forall (x,y)in D$,设$F(x+Delta x,y+Delta y)=0,F(x,y)=0$, 其中$Delta xneq 0$且

begin{align*}F(x+Delta x,y+Delta y)&=F(x,y)+F'(x,y)(Delta x,Delta y)+varepsilon(Delta x,Delta y)||(Delta x,Delta y)||\&=F'(x,y)(Delta x,Delta y)+varepsilon(Delta x,Delta y)||(Delta x,Delta y)||=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~mbox{【1】} end{align*}(这是因为$F$在$D$上可微),其中$(Delta x,Delta y)to 0$时，$varepsilon(Delta x,Delta y)to 0$.则

begin{equation}
label{eq:25.10.14}
F'(x,y)(1,frac{Delta y}{Delta x})+varepsilon(Delta x,Delta
y)||(1,frac{Delta y}{Delta x})||=0
end{equation}
可见，
begin{equation}
label{eq:25.10.16}
F'(x,y)(1,frac{Delta y}{Delta x})=0
end{equation}(为什么?)即
begin{equation}
label{eq:25.10.19}
begin{pmatrix}
frac{partial F}{partial x}(x,y)&frac{partial F}{partial y}(x,y)
end{pmatrix}begin{pmatrix}
1\
frac{Delta y}{Delta x}\
end{pmatrix}=0
end{equation}
可见，ref{eq:22.13.11}成立.

 

注1:注意到 $F(x,y)=0$ 确定一个函数这一点要用到反函数定理(为什么?注:在此处用到单变量的反函数定理,当证明更高维数上的隐函数定理的时候,要用到多元的反函数定理).

 

注2:该命题很容易推广至 $mathbf{R}^nto {R}$ 的情形.