10_青蛙跳台阶问题

题目描述：剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。(0 <= n <= 100)

• 示例 1：
• 输入：n = 0
• 输出：1
• 示例 2：
• 输入：n = 7
• 输出：21

题解

1.假如只有1级台阶，只有一种跳法；假如有2级台阶，那就有2种跳法：一种是分两次跳，每次跳一下；另一种就是一次跳两下。

2.讨论一般情况。把n阶台阶时的跳法看成n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：
(1)第一次跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的(n-1)级台阶的跳法数目，即为f(n-1)。
(2)第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的(n-2)级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。
因此，n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)，即为斐波那契数列，只是起始数值不同。

• 青蛙跳台阶问题： f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2
• 斐波那契数列： f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n==0 || n==1)  return 1;
        int a=1,b=1,c=0;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            c=(a+b)%1000000007;
            a=b;
            b=c;
        }
        return c;
    }
};

扩展

1.一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶…也可以跳上n级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

• 数学归纳法：f(n)=2^(n-1)

2.用8个21的小矩形无重叠地覆盖一个28的大矩形，总共有多少方法。

• 仍然是斐波那契数列

最后

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