小bai笔记特别篇：汉诺塔和青蛙跳台阶（含变态青蛙）问题（函数和递归进阶篇）

前言：hello大家好，我是小白阿g今天更一期函数和递归的进阶特别篇，主要就是讲解一下这两个经典的问题，带大家更加深入的感受一下递归思想，主要还是讲解思路，还是那句话，我的努力哪怕为大家理解培养递归思想起到一点点作用，那也是值得的，话不多说，直奔主题。

1汉诺塔问题

关于汉诺塔问题可能有人没有听说过哈，简单给大家在网页上粘贴过来一个描述，如图：

简单的来说就是三个柱子ABC，A柱子上从小到大有一摞盘子，每次挪动一个，把盘子从A都挪到C上去，规则就是不能出现大盘子在小盘子上边的情况。

可能大家一开始看见这个题会觉得比较难，没有思路，现在我给大家重点讲解思路，依旧是递归大事化小思想，大问题咱们先不看，我们知道，如果A上只有一个盘子，是不是只需要一步就可以把它放到C上去，那么显然这就是大问题的最小子问题，即把大问题递减到A上只有1个盘子。那么假如有2个盘子，我们的挪法也是很简单的，那就是先把第一个放到B上去，这下A上就只有一个盘子了，也就是我们的最小子问题，我们把它放到C上就可以了，然后再把上的那个盘子放到C上去就完成了任务。那么我们现在基本就有了完整思路，那就是挪动n个盘子，我们可以先把n-1个盘子挪到B柱子上，这样A上就只剩1个盘子了，我们很容易就可以挪过去，挪到C之后，由于挪过去的是最大的盘子，剩下的所有盘子都是可以放在上面的，也就相当于剩余了一堆碟子在B上，A和C都是空的，那么就变成了n-1个盘子挪动的汉诺塔问题，至此我们就把n个盘子的汉诺塔问题变成了第一步n-1个盘子从A挪到B，第二步A上剩的一个盘子挪到C上，第三步再把n-1个盘子从B挪到C上的汉诺塔问题。这样递减下去，肯定会变成我们的最小子问题：把盘子从A放到C上去，然后再逐级归还，这样问题就解决了。再来完整捋一下思路：n个盘子移动的汉诺塔问题，把n分解成最大的盘子和n-1个盘子的子问题，最大的盘子我们可以直接挪动，剩下的n-1个盘子我们可以调用自身，即规模减小的汉诺塔问题，这就是递归，C语言实现例如下代码：

//定义全局变量count，统计挪动次数
int count = 0;
//定义一个“挪动”函数，形参是起始位置和结束位置
//即传给函数两个实参（柱子名，例如A，B），move函数在屏幕上打印　A－－＞B
void move(char Star, char End)
{
	printf("%c --> %cn", Star, End);
	//每次move被调用，移动次数count自加1
	count++;
}

//定义汉诺塔函数,形参为挪动盘子数x,开始位置Star，中专位置Mid，目的位置End
//实参为：   数值，A，B，C
void Hanoi(int x, char Star, char Mid, char End)
{
	if (x == 1)
	{
		move(Star, End);
	}
	else
	{
		//先将x-1个盘子从A柱通过C柱挪到B柱
		Hanoi(x-1, Star, End, Mid);
		//A上剩余一个盘子，把它从A移动到C
		move(Star, End);
		//把B上剩余的n-1个盘子通过A挪到C上
		Hanoi(x-1, Mid, Star, End);
	}
}

int main()
{
	//求解三个盘子挪动问题
	printf("当前要挪动4个盘子，挪动方法为：n");
	Hanoi(4, 'A', 'B', 'C');
	printf("挪动了%d次n", count);
	return 0;
}

运行结果：

         到这里如果大家自己写了代码，并且执行了几次的话，那么就不难发现，其实n个盘子的挪动次数就是(2^n)-1。这里插一段关于汉诺塔的传说，挺有意思的，这个问题的原版是：

         通过我们上边的结论，我们可以知道，64个盘子一共需要挪动2^64-1次，这是一个多大的数字呢，如果僧侣一秒挪一次，不停不休，不挪错，换算时间为年的话是：

         当然这就是一个传说啦，跟我们是没什么关系的，我们主要从汉诺塔问题体会学习递归思想就好了。

2青蛙跳台阶问题：

        这个问题比较简单，其实本质就是斐波那契数列，当然我们要做的是理解，下次在遇到能知道这可以用递归思想解决，这才是我们的目的。

        问题是，有一只青蛙面前有无数级台阶，它可以一次跳一个台阶，也可以一次跳两个台阶，问青蛙跳到第n级台阶有几种跳法。

        好，问题描述清楚，我们开始大事化小，由于这个青蛙跳一次只能跳1到2个，所以它跳到第n个台阶只有两种可能，从n-1跳过来或者从n-2跳过来。这样又把问题递减了，看过斐波那契数列的小伙伴到这里应该也就懂了，这不就是一个数等于它前两个数之和吗，没错，我们说青蛙跳台阶问题本质就是斐波那契数列，现在我相信大家对于递归的魅力略懂一二了，他把青蛙和数学联系在了一起，而且是紧紧联系，本质相同，这就是递归思想。那么代码就很简单了，相信大家都会写了，我这里呢也在提供一份，供大家参考，例如下代码：

int Jump(int x)
{
	if (x == 1)
	{
		return 1;
	}
	else if (x == 2)
	{
		return 2;
	}
	else
	{
		return Jump(x-1)+Jump(x-2);
	}
}

int main()
{
	int ret = Jump(40);
	printf("有%d种跳法n", ret);
	return 0;
}

         不过有一点大家略微注意，这个比斐波那契数列少一个1，因为青蛙跳第二级台阶可以直接跳上去或者先跳台阶1再跳台阶2，也就是数列第二项就是2了，后面的不变。当然看了我上期内容的小伙伴应该知道，递归解决斐波那契是垃圾的算法，不过我们学的是思想，学会用递归解决问题，能从问题中找出递归就可以了，至于这个算法并不适合我们可以再想别的办法嘛，相信看来上期的内容的话应该很容易就写出循环方法啦，这里也附给大家，仅供参考，例如下代码：

int Jump(int x)
{
	int a = 1;
	int b = 2;
	int c = 1;
	if (x == 1)
	{
		return a;
	}
	if (x == 2)
	{
		return b;
	}
	while (x > 2)
	{
		c = a+b;
		a = b;
		b = c;
		x--;
	}
	return c;
}

         当然啊，青蛙跳台阶问题本身是比较简单滴，之所以给大家在进阶篇中讲，其一是因为这是非常经典的一个问题，是大厂笔试曾经出过的题目；其二就是作为引子，引出我们的变态青蛙问题。问题是这样滴：

        话说这个青蛙天天在这跳台阶，哎，有一天它修仙得道了，成为了一只无比强大的青蛙，它现在牛起来了，它一次可以跳任意个台阶，这是我们进阶内容哈，现在我们来思考：

        其实这个题看起来复杂，但是只要想通了，也是比较简单的。还是大事化小考虑有没有能缩小规模的子问题。比如青蛙跳到第n阶，那么它可能从那跳过来呢？显然由于现在青蛙比较牛，他可能是从第1级第2级...一直到第n-1级中任意台阶跳过来的，也就是说Jump(n)不在等于Jump(n-1)+Jump(n-2)，它现在的关系是Jump(n)=Jump(1)+Jump(2)+....+Jump(n-2)+Jump(n-1)+1(直接一下跳上来)。这样我们把问题理解了之后，很容易就搞明白了关系，还是一组数列，只不过现在数列的每一个数都是它前面所有项的和再加1。相信大家都能做出循环方法，那么递归能解吗，怎么解呢。

        我们说这个变态青蛙问题是可以用递归解决的，思路如下：每个n级的跳法都是它前面所有的方法之和加1(直接一下跳上来)，那么我们可以让结果为1+(调用自己传参数为n-1)，这样调用自己传参数为n-1又会变成1+(调用自己传参数为n-2)，逻辑漏洞来了，重点重点重点：这样我们写出来一个表达式：Jump(n)=1+Jump(n-1)，看上去很对，但是大家一定要好好注意这里的逻辑思维，Jump(n)=Jump(1)+Jump(2)+....+Jump(n-2)+Jump(n-1)+1，而不是Jump(n)=1+Jump(n-1)，算出来的Jump(n)什么都不是，这样的逻辑思维求出来的Jump(n)就等于n。正确的表达式是把每一次的结果都加起来，所以我们定义一个全局变量：sum，函数递归表达式为sum += Jump(n-1)，完整例如下代码：

int sum = 1;
int Jump(int x)
{
	if (x == 1)
	{
		return 1;
	}
	sum += Jump(x-1);
	return sum;
}

 循环的代码也分享给大家：

int Jump(int x)
{
	int a = 1;
	while (x > 0)
	{
		a += a;
		x--;
	}
	return a;
}

3好了，递归的进阶篇就讲到这里啦，重点就是表态青蛙哪里的递归思考过程，一定要好好理解，希望我的这篇博客可以帮到大家，ok，这期的内容到此结束，如果觉得对你有帮助欢迎点赞转发评论区交流，关注小白阿g，让小白不再白学，亲爱的小伙伴们下期见。

最后

以上就是友好大山为你收集整理的小bai笔记特别篇：汉诺塔和青蛙跳台阶（含变态青蛙）问题（函数和递归进阶篇）的全部内容，希望文章能够帮你解决小bai笔记特别篇：汉诺塔和青蛙跳台阶（含变态青蛙）问题（函数和递归进阶篇）所遇到的程序开发问题。

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