上一讲结束的时候讨论了一般的析因设计，如果treatment factor的数量或者level比较多，模型中的因素就会超级多，需要的experiment unit就会很多，显然不符合节约试验成本的原则。$2^k$试验设计是一般析因设计的替代方案，它的思路是假设有$k$个factor，那么每个factor只考虑两种level，一方面需要的experiment unit数目可以少点，另一方面两个不同的level也刚刚可以比较这个factor的effect。这一讲先介绍$2^2$和$2^3$析因设计，然后介绍一般的$2^k$析因设计。

$2^2$析因设计

ANOVA方法

这里就用Montgomery的试验设计上的例子。假设我们要研究某个化学反应的产率，因子A表示反应物浓度，因子B表示催化剂用量，我们选择了$2^2$析因设计，重复试验三次，结果如下表

记A和B的取值为1或者-1，1表示高浓度/用量（高浓度是25%，高用量是2磅），-1表示低浓度/用量（低浓度是15%，低用量是1磅），两个因子两种level一共有四种treatment，很明显这四种组合都是contract。Replicate三次的四种treatment一共有12种response。

这张图展示的是四种treatment的三次replicate的response的和，没别的意思。

这张图展示的是两个因子的treatment effect的估计以及A和B的交互效应的估计。注意这些效应是平均效应，它们的分子，比如：
$$Contrac{t}_A=ab+a-b-(1)$$
它是contract（+，-）（上表第二行），的总效应。在这个例子中这三种效应的估计为

之前讲contract的那一篇提到过某个contract的平方和用下面的公式计算：

因此



总平方和的计算公式可以直接用

根据这个公式并结合平方和的分解，可以计算得到下面的ANOVA table

从这个ANOVA table我们发现交互效应不显著异于0，所有下面画contour plot就会是平行直线族。

回归方法

上面的数据可以用这个回归模型来做，其中A为高浓度则$x_1$取1，低浓度则$x_1$取-1；B为高用量则$x_2$取1，低用量则$x_2$取-1。回归模型的系数与上面算出来的treatment effect有如下关系：

拟合了这个模型后，需要用回归那个系列的模型诊断方法看看回归的假设是否满足，也可以画出contour plot判断最优的浓度和用量：

$2^3$析因设计

这个和前一个相比就是多了一个因子，对应的记号稍微扩展一下就可以了：

每种factor effect和交互效应的估计以及平方和也可以用contract的方法来做，比如


交互效应可以这样估计：

三个factor的交互效应可以用AB与C的那样分析：

由此我们可以列出这些treatment effect含有的要素的符号：

这个矩阵有一个比较有意思的性质，首先每一行构成一个contract，其次每一列与自己的Hamada乘积等于第一列，比如$B^2=I$。

一个例子

（这个例子说明统计软件的重要性。。。）

它也可以用回归方法来做，但与上面那种情况方法完全一样，就不说了。

最后

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