Python 机器学习6：sklearn 线性回归

回归问题：目标值是连续型值的问题。

线性回归：通过一个或者多个自变量与因变量之间之间进行建模的回归分析，其中特点为一个或多个称为回归系数的模型参数的线性组合。

from sklearn import linear_model

一元线性回归：涉及到的变量只有一个

多元线性回归：涉及到的变量两个或两个以上

通用公式：

其中，w为权重，x为特征，w0为偏移量。

预测结果与真实值会有误差，使用损失函数定义：

其中，yi为第i个训练样本的真实值，hw(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数，即误差的平方和，又称为最小二乘法。

1. 正规方程

from sklearn.linear_model import LinearRegression

其中，X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。

优点：可以经过一次运算得出，不需要多次迭代；对于数量较小的数据预测精确度较高。

缺点：当特征过于复杂，求解速度太慢；对于复杂的算法，不能使用正规方程求解；只适用于线性模型。

例1：波士顿房价案例

需求：根据给出的信息，使用正规方程预测波士顿房价。

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 获取数据
lb = load_boston()
# 分割数据集到训练集和测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)
# 特征值和目标值是都必须进行标准化处理, 实例化两个标准化API
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)
# 目标值
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))
# estimator预测
# 正规方程求解方式预测结果
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_train, y_train)
print("回归系数：", lr.coef_)
y_lr_predict = std_y.inverse_transform(lr.predict(x_test))
print("正规方程测试集里面每个房子的预测价格：", y_lr_predict)

输出：

回归系数： [[-0.08438297  0.12662503  0.00617453  0.08445922 -0.17802891  0.31122427
  -0.02547949 -0.33519079  0.29937768 -0.25666255 -0.20903889  0.1118847
  -0.38413983]]
正规方程测试集里面每个房子的预测价格： [[29.23338548]
 [ 8.8447294 ]
 [16.88213279]
 [28.68269785]
 [13.82717473]

...

[21.05746016]
 [34.16472524]
 [13.79114495]
 [29.78022612]
 [25.79496649]]

2. 梯度下降

from sklearn.linear_model import SGDRegressor

我们以单变量中的w0,w1为例子：

其中，α为学习速率，需要手动指定；表示方向。沿着这个函数下降的方向找，最后就能找到山谷的最低点，然后更新w值。梯度下降优化方法常用于训练数据规模十分庞大的任务。

优点：对于大规模数据预测精确度较高，适用于线性模型、逻辑回归等各种类型的模型。

缺点：需要选择学习率α；需要多次迭代。

例2：将上面的波士顿房价案例使用梯度下降的方法预测。

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import SGDRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 获取数据
lb = load_boston()
# 分割数据集到训练集和测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)
# 特征值和目标值是都必须进行标准化处理, 实例化两个标准化API
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)
# 目标值
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))
# 梯度下降去进行房价预测
sgd = SGDRegressor()
sgd.fit(x_train, y_train)
print("回归系数：", sgd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_sgd_predict = std_y.inverse_transform(sgd.predict(x_test))
print("梯度下降测试集里面每个房子的预测价格：", y_sgd_predict)

输出：

回归系数： [-0.08941871  0.08789607 -0.04447809  0.07226135 -0.15867807  0.27921188
 -0.00412562 -0.28211046  0.13217807 -0.08845703 -0.2132474   0.09144371
 -0.44183021]
梯度下降测试集里面每个房子的预测价格： [21.11741232  8.45862731 21.73867322 20.46478787 14.76453375 ... 41.72498704 26.45385124 18.12149835 23.03475815
 23.38007714]

3. 回归性能评估

均方误差（Mean Squared Error，MSE）评价机制：每一个样本误差的平方和除以样本数。

from sklearn.metrics import mean_squared_error

 其中，yi为预测值，y_bar为真实值。

mean_squared_error(y_true, y_pred) 均方误差回归损失

参数：

y_true：真实值

y_pred：预测值

返回值：浮点数结果

计算例1的均方误差：

print("正规方程的均方误差：", mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_lr_predict))

输出：

正规方程的均方误差： 20.510530562954916

 计算例2的均方误差：

print("梯度下降的均方误差：", mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_sgd_predict))

输出：

梯度下降的均方误差： 19.560352040811527

4. 过拟合与欠拟合

过拟合：一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合，但是在训练数据外的数据集上却不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了过拟合的现象。

过拟合的原因通常为模型过于复杂，存在一些嘈杂特征，解决方法包括交叉验证、正则化、消除多项式中的过高次项等。

欠拟合：一个假设在训练数据上不能获得更好的拟合，但是在训练数据外的数据集上也不能很好地拟合数据，此时认为这个假设出现了欠拟合的现象。

欠拟合的原因通常为模型过于简单，解决方法为增加数据的特征数量。

5. 岭回归

岭回归是带有正则化的线性回归，可以较好地解决过拟合的问题。

from sklearn import linear_model.Ridge

L2正则化的作用：可以使得W的每个元素都很小，都接近于0。

优点：越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。

sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0) 具有L2正则化的线性最小二乘法

参数：

alpha：正则化力度

返回值coef_属性：回归系数

例3：将上面的波士顿房价案例使用岭回归的方法预测。

from sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 获取数据
lb = load_boston()
# 分割数据集到训练集和测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)
# 特征值和目标值是都必须进行标准化处理, 实例化两个标准化API
std_x = StandardScaler()
x_train = std_x.fit_transform(x_train)
x_test = std_x.transform(x_test)
# 目标值
std_y = StandardScaler()
y_train = std_y.fit_transform(y_train.reshape(-1, 1))
y_test = std_y.transform(y_test.reshape(-1, 1))
# 岭回归去进行房价预测
rd = Ridge(alpha=1.0)
rd.fit(x_train, y_train)
print(rd.coef_)
# 预测测试集的房子价格
y_rd_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
print("岭回归测试集里面每个房子的预测价格：", y_rd_predict)
print("岭回归的均方误差：", mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_rd_predict))

输出：

[[-0.13628067  0.16330066 -0.00630566  0.06523728 -0.20412496  0.25113994
   0.0801901  -0.33633465  0.30667812 -0.20033917 -0.22404729  0.09775338
  -0.45382174]]
岭回归测试集里面每个房子的预测价格： [[17.4491666 ]
 [20.50750154]
 [33.92237846]
 [19.86748357]
 [15.94954384]

...

[22.40077728]
 [-5.35978023]
 [27.07257406]
 [18.69425565]
 [ 3.49050573]]
岭回归的均方误差： 19.826138761003797

最后

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