快速幂详解及其Python实现

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我是靠谱客的博主合适洋葱，这篇文章主要介绍快速幂详解及其Python实现，现在分享给大家，希望可以做个参考。

快速幂

传统的幂运算，是对底数进行连乘，时间复杂度为o(n)，例如：2^ 13 = 2* 2 * 2……*2，连乘十三次。但是我们可以通过增加底数，减少指数的做法，降低时间复杂度。从而能够实现复杂度为o(logn)的幂运算。还是以2^13为例，13的二进制为1101，因此2的13次方可以分解成以下形式：
在这里插入图片描述
和13的二进制1101相对比，只要二进制为1的位，就有权重，权重为2^(i-1)，i表示第几位，1101从右到左，依次为第1位，第2位，第3位，第4位。

下面的工作就是如何确定二进制中的哪一位为1，这里可以利用位运算中的&和>>运算。

由于1的二进制除了第一位是1，其他的全是0，因此可以利用n&1是否为0来判断n的二进制的当前最低位是否为1，如果n&1等于0，说明当前n的最低位不为1。

利用右移运算>>来逐位读取,然后每次判断是否为1。

Python实现

应用一：求base的exponent次方

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# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def Power(self, base, exponent):
        # write code here
        flag=1
        re=1
        tmp=base
        if exponent==0:   #等于0的情况
            return 1
        if exponent<0:   #小于0的时候，设置一个flag,用于返回的时候做判断
            flag=0
            exponent=abs(exponent)
 
        while exponent>0:    #大于0的情况
            if exponent&1==1:
                re=re*tmp     #判断当前位是否为1，如果是的话，把之前的幂乘到结果中
            exponent=exponent>>1      #右移动一位就是除以2
            tmp=tmp*tmp       #2^6=(2*2)^3
        return re if flag else 1/re

应用二：快速幂取模

在算幂的模的时候，比如2^ 64 mod（10086），不必要算64次乘法，只需要首先算2^2 mod 10086,再算2 ^ 4在算2 ^8

一般情况下，即将指数进行二进制分解，如果二进制不为0的位，则进行乘法运算，具体的算法如下

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def fastExpMod(b, e, m):
    result = 1
    while e != 0:
        if (e&1) == 1:
            # ei = 1, then mul
            result = (result * b) % m
        e >>= 1
        # b, b^2, b^4, b^8, ... , b^(2^n)
        b = (b*b) % m
    return result