内容参考来自闫令琪老师的课程，有兴趣的同学可以去看完整课程

齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

我们需要齐次坐标来帮助我们使用矩阵变换原来的顶点的位置，因为二维矩阵做不到移动二维的顶点，三维矩阵做不到移动三维的顶点，所以需要先把顶点或者向量扩展到齐次坐标，然后再做齐次坐标下的矩阵变换，最后做齐次化，得到新的变换后的顶点。

对于二维坐标，不能直接用二维矩阵做移动的操作，所以需要使用其次坐标，先把顶点或者向量转换到齐次坐标，就是为顶点添加一个w维，并设置为1，向量的w则设置为0。三维顶点或者向量是一样的，都需要在最后添加一个w维。
最后的顶点坐标需要齐次坐标做齐次化才行，就是除以w维。

顶点的旋转，要先移回原点，然后旋转，最后再移回去

3D转换矩阵(3D Transformations)

3D 缩放

$$\mathbf{S}\left(s_x,s_y,s_z\right)=\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

3D 平移

$$\mathbf{T}\left(t_x,t_y,t_z\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

3D 旋转

坐标系统为如下图，一点顶点绕着轴 $x$ 旋转 $\alpha$ 角的计算如下。

对于顶点绕着各个轴旋转的矩阵就是如下形式。

$$\begin{array}{l}{\mathbf{R}}_x(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ {\mathbf{R}}_y(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ {\mathbf{R}}_z(\alpha )=\left(\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

对于列向量，当这些基础旋转矩阵的旋转轴朝向观察者的时候，使用的是右手坐标系，而且旋转角度 $\alpha$ 是正的，而且都是逆时针(counter clock)方向的旋转。
举例：绕 $z$ 轴旋转 $90^{\circ }$
$$R_z(90^{\circ })\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos 90^{\circ }& -\sin 90^{\circ }& 0\\ \sin 90^{\circ }& \cos 90^{\circ }& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

由roll,pitch,raw来表达右手笛卡尔坐标系绕x,y,z轴的旋转。当然用欧拉角来表示会更友好一点，$\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别是绕着轴 $x,y,z$ 的旋转角。被乘的顶点则被按照顺序旋转
$$R=R_z(\alpha )R_y(\beta )R_x(\gamma )=\stackrel{\text{yaw}}{\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}\stackrel{\text{pitch}}{\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]}\stackrel{\text{roll}}{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \gamma & -\sin \gamma \\ 0& \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right]}$$

$$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\ -\sin \beta & \cos \beta \sin \gamma & \cos \beta \cos \gamma \end{array}\right]$$

Rodrigues’ Rotation Formula

而绕指定的轴旋转特定角的矩阵

绕着轴 $n$ 旋转角度 $\alpha$
$$\mathbf{R}(\mathbf{n},\alpha )=\cos (\alpha )\mathbf{I}+(1-\cos (\alpha ))\mathbf{n}{\mathbf{n}}^T+\sin (\alpha )\underset{\mathbf{N}}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}0& -n_z& n_y\\ n_z& 0& -n_x\\ -n_y& n_x& 0\end{array}\right)}}$$

Rodrigues’ Rotation Formula旋转证明

相机转换

相机平移和旋转以及投影矩阵
$$M_{\text{view}}=R_{\text{view}}{T}_{\text{view}}$$

相机平移

定义相机位置属性

• Position $\vec{e}$
• Look-at / gaze direction $\hat{g}$
• Up direction $\hat{t}$

The origin, up at Y, look at -Z
其实就是相机从世界空间转换到局部空间的矩阵，把顶点移动到原点，
$$T_{view}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_e\\ 0& 1& 0& -y_e\\ 0& 0& 1& -z_e\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

相机旋转

相机的旋转矩阵其实就是把相机从世界空间到局部空间的旋转矩阵
Consider its inverse rotation: X to (g x t), Y to t, Z to -g

$$R_{\text{view}}=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{\hat{g}\times \hat{t}}& y_{\hat{g}\times \hat{t}}& z_{\hat{g}\times \hat{t}}& 0\\ x_t& y_t& z_t& 0\\ x_{-g}& y_{-g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

相机投影

• Orthographic projection
• Perspective projection

最终把坐标投影到NDF，在opengl下是 $[-1,1{]}^3$

NDC到屏幕空间(Canonical Cube to Screen)

光栅化(Rasterization)

• Point-in-triangle test（点在三角形中的测试）
• Aliasing（抗锯齿）

光栅化就是判断最后转换到屏幕空间的三角形，对其它的在屏幕空间的包围盒，判断像素是不是在其内，如果是，那么就画出当前点差值出来的颜色，如果不是，则继续遍历。

引用

[1]https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

最后

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