2020.04.04【NOIP普及组】模拟赛C组23 总结

2020.04.04【NOIP普及组】模拟赛C组23 总结
这次比赛我考了150分，第8名，还可以。
这一次竟然比的是USACO的银组，what? 。
第一题：Swapity Swap
题目：

题目描述
Farmer John 的 N 头奶牛（1≤N≤10^5）站成一排。对于每一个 1≤i≤N，从左往右数  第 i 头奶牛的编号为 i。Farmer John 想到了一个新的奶牛晨练方案。他给奶牛们 M 对整数 (L1,R1)…(LM,RM)，其中 1≤M≤100。他让她们重复以下包含 M 个步骤的过程 K（1≤K≤10^9）次：
对于从 1 到 M 的每一个步骤i：当前从左往右数在位置 Li…Ri 的奶牛序列反转她们的顺序。
当奶牛们重复这一过程 K 次后，请对每一个 1≤i≤N 输出从左往右数第 i 头奶牛的编号。

输入
输入的第一行包含 N, M 和 K。对于每一个 1≤i≤M，第 i+1 行包含 Li 和 Ri，均为范围在 1…N 内的整数，其中 Li<Ri。

输出
在第 i 行输出指令序列执行了 K 次后奶牛序列中从左往右数第 i 个元素的编号。

样例输入
7 2 2
2 5
3 7

样例输出
1
2
4
3
5
7
6

数据范围限制
测试点 1-2 满足 N=K=100。
测试点 3-5 满足 K≤10^3。
测试点 6-10 没有额外限制。

提示
初始时，奶牛们的顺序从左往右为 [1,2,3,4,5,6,7]。在这一过程的第一步过后，顺序变为 [1,5,4,3,2,6,7]。在这一过程的第二步过后，顺序变为 [1,5,7,6,2,3,4]。再重复这两个步骤各一次可以得到样例的输出。

方法：

1. 对于$20$分（实际得$30$分）的做法：直接进行暴力。时间复杂度为$O(nmk)$。
2. 对于$50$分的做法：可以用一个数组存它的下标将要去的点，一边做一遍更新。时间复杂度为$O(nk)$。
3. 对于满分的做法：对$50$分进行优化，用快速幂或倍增法求的答案。时间复杂度为$O(n{\log }_k^2)$。

第二题：Triangles
题目：

题目描述
Farmer John 想要给他的奶牛们建造一个三角形牧场。有 N（3≤N≤10^5）个栅栏柱子分别位于农场的二维平面上不同的点 (X1,Y1)…(XN,YN)。他可以选择其中三个点组成三角形牧场，只要三角形有一条边与 x 轴平行，且有另一条边与 y 轴平行。
FJ 可以组成的所有可能的牧场的面积之和等于多少？

输入
第一行包含 N。
以下 N 行每行包含两个整数 Xi 和 Yi，均在范围 −10^4…10^4 之内，描述一个栅栏柱子的位置。

输出
由于面积之和不一定为整数且可能非常大，输出面积之和的两倍模 10^9+7 的余数。

样例输入
4
0 0
0 1
1 0
1 2

样例输出
3

数据范围限制
测试点 1-2 满足 N=200。
测试点 3-4 满足 N≤5000。
测试点 5-10 没有额外限制。

提示
栅栏木桩 (0,0)、(1,0) 和 (1,2) 组成了一个面积为 1 的三角形，(0,0)、(1,0) 和 (0,1) 组成了一个面积为 0.5 的三角形。所以答案为 2*(1+0.5)=3。

方法：

1. 对于$20$分的做法：直接枚举。时间复杂度为$O(n^3)$。
2. 对于满分的做法：用数学方法统计并计算。时间复杂度为$O(4n)$。

第三题：Clock Tree
题目：

题目描述
Farmer John 的新牛棚的设计十分奇怪：它由编号为 1…N 的 N 间房间（2≤N≤2500），以及 N−1 条走廊组成。每条走廊连接两间房间，使得每间房间都可以沿着一些走廊到达任意其他房间。
牛棚里的每间房间都装有一个在表盘上印有标准的整数 1…12 的圆形时钟。然而，这些时钟只有一根指针，并且总是直接指向表盘上的某个数字（它从不指向两个数字之间）。
奶牛 Bessie 想要同步牛棚中的所有时钟，使它们都指向整数 12。然而，她头脑稍有些简单，当她在牛棚里行走的时候，每次她进入一间房间，她将房间里的时钟的指针向后拨动一个位置。例如，如果原来时钟指向 5，现在它会指向 6，如果原来时钟指向 12，现在它会指向 1。如果 Bessie 进入同一间房间多次，她每次进入都会拨动这间房间的时钟。
请求出 Bessie 可能的出发房间数量，使得她可以在牛棚中走动并使所有时钟指向 12。注意 Bessie 并不拨动她出发房间的时钟，但任意时刻她再次进入的时候会拨动它。时钟不会自己走动；时钟只会在 Bessie 进入时被拨动。此外，Bessie 一旦进入了一条走廊，她必须到达走廊的另一端（不允许走到一半折回原来的房间）。

输入
输入的第一行包含 N。下一行包含 N 个整数，均在范围 1…12 之内，表示每间房间初始时的时钟设置。以下 N−1 行每行用两个整数 a 和 b 描述了一条走廊，两数均在范围 1…N 之内，为该走廊连接的两间房间的编号。

输出
输出出发房间的数量，使得 Bessie 有可能使所有时钟指向 12。

样例输入
4
11 10 11 11
1 2
2 3
2 4

样例输出
1

数据范围限制
测试点 1-7 满足 N≤100。
测试点 8-15 没有额外限制。

提示
在这个例子中，当且仅当 Bessie 从房间 2 出发时她可以使所有房间的时钟指向 12（比如，移动到房间 1，2，3，2，最后到 4）。

方法：

1. 方法$1$：动态规划。时间复杂度为$O(n^2)$。
2. 方法$2$：数学方法：看一下每个结点的深度是奇数还是偶数，然后判断。时间复杂度为$O(n)$。

总结：这是我遇到的最难的第一题。下一次我一定会更好！

最后

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