[codevs 3639] 树的中心---树形DP(树的重心)

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我是靠谱客的博主单薄小熊猫，最近开发中收集的这篇文章主要介绍[codevs 3639] 树的中心---树形DP(树的重心)，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

题目描述 Description

给出一棵树，求出树的中心。

为了定义树的中心，首先给每个结点进行标号。对于一个结点K，如果把K从树中删除（连同与它相连的边一起），剩下的被分成了很多块，每一块显然又是一棵树（即剩下的部分构成了一个森林）。则给结点K所标的号就是森林中结点个数最多的树所拥有的结点数。如果结点K的标号不大于其他任何一个结点的标号，则结点K被称为是树的中心。

输入描述 Input Description

输入：

输入的第一行包含一个整数N（1≤N≤16 000），表示树中的结点数。接下来N-1行，每个两个整数a,b，由一个空格分隔，表示a与b之间有一条边。

输出描述 Output Description

输出：

输出两行，第一行两个整数v,T，v表示树的中心结点的标号，T表示树有多少个中心。第二行包含T个数，为所有树的中心的编号，按升序排列。

样例输入 Sample Input

样例输入：

1 2

2 3

2 4

1 5

5 6

6 7

样例输出 Sample Output

样例输出：

3 1

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据范围: 20% N<=100 100% N<=16 000

分析

~~幸好之前在书上有看到过相关思路,so水过.~~(不要被事物的表面现象所迷惑),翻译一下题目,就是求一个点使以它为树根,满足最大子树的节点数最小.~~其实就是树的重心~~

思路:

以1为根建树,在回溯时顺便求出子树的节点大小与子树孩子的最大值
得出以上条件后可稍加分析,会发现一个特点:
当以R为根节点的树转化为以R的孩子H为根节点时,只要令size[R]=n-size[H],size[H]=n即可维护子树的大小
So 题目要求的K即可表示为 K=max{ n-size[now],max( size[j] ) }
其中,now为当前节点,j为now的children
充分利用dfs的特性,在now节点处理完它的孩子后,直接用 3 的等式,更新ans

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define open(s) freopen(s".in","r",stdin); freopen(s".out","w",stdout);
#define close fclose(stdin); fclose(stdout); 
using namespace std;

struct node //树的节点
{
	vector<int>ch;
	int d; // size
	int ma; //子树孩子的最大值
};

struct Edge //邻接表(链式向前星)
{
	int to;
	int next;
};

int ank; // 找K值
vector<int>ans; //记录节点
int n;
int cnt;
int head[16005];
Edge edge[32005];
node tree[16005];
bool vis[16005];

inline int read()
{
	int k=1;
	int sum=0;
	char c=getchar();
	for(;'0'>c || c>'9' ;c=getchar())
		if(c=='-') k=-1;
	for(;'0'<=c && c<='9';c=getchar())
		sum=sum*10+c-'0';
	return sum*k;
}

inline void write(int x)
{
	if(x<0) { putchar('-'); x*=-1; }
	if(x>9) write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

inline void add(int x,int y) 
{
	++cnt;
	edge[cnt].to=y;
	edge[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt;
}

inline int max(int x,int y)
{
	return x>y?x:y;
}

inline void build(int p)
{
	for(int i=head[p];i;i=edge[i].next) // 建树
	if(!vis[edge[i].to])
	{
		int y=edge[i].to;
		vis[y]=1; //初始化
		tree[y].d=1;
		tree[p].ch.push_back(y);
		build(y);
		tree[p].d+=tree[y].d; //更新d/ma
		tree[p].ma=max(tree[p].ma,tree[y].d); 
	}
	tree[p].ma=max(tree[p].ma,n-tree[p].d); // 更新答案
	if(ank==-1 || tree[p].ma<ank)
	{
		ank=tree[p].ma;
		ans.clear();
		ans.push_back(p);
	}else
	if(tree[p].ma==ank)
		ans.push_back(p);
}

inline bool cmp(int x,int y)
{
	return x<y;
}

int main()
{
	open("tree");

    n=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int x=read(),y=read();
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	vis[1]=1; //初始化
	tree[1].d=1;
	ank=-1;
	build(1);

	sort(ans.begin(),ans.end(),cmp); //答案要求
	int s=ans.size();
	write(ank);putchar(' ');write(s);putchar('n');
    for(int i=0;i<s;++i)
	{
		write(ans[i]);
		putchar(' ');
	}
	
    close;
	return 0;
}

补充

树的重心相关知识点:

定义：使得最大子树的节点数最小的点
性质：
1.树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
2.把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上
3.把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离
重要意义：
在对树进行分治的时候可以避免N^2的极端复杂度（从退化链的一端出发），保证NlogN的复杂度