算法设计与分析——树

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本文中，我们专门讨论用链式数据结构表示有根树的问题。我们将首先讨论二叉树，然后给出针对结点的孩子数任意的有根树的表示方法。

树的结点用对象表示。与链表类似，假设每个结点都含有一个关键字$key$。其余我们感兴趣的属性包括指向其他结点的指针，它们随树的种类不同会有所变化。

二叉树

下图展示了在二叉树$T$中如何利用属性$p$、$left$和$right$存放指向父结点、左孩子和右孩子的指针。如果$x.p=None$，则$x$是根结点。如果结点$x$没有左孩子，则$x.left=None$，右孩子的情况与此类似。属性$T.root$指向整棵树T的根结点。如果$T.root=None$，则该树为空。

分支无限制的有根树

二叉树的表示方法可以推广到每个结点的孩子数至多为常数$k$的任意类型的树：只需要将$left$和$right$属性用$chil{d}_1,chil{d}_2,\cdots ,chil{d}_n$代替。当孩子的结点数无限制时，这种方法就失效了，因为我们不知道应当预先分配多少个属性。此外，即使孩子数$k$限制在一个大的常数以内，但若多数结点只有少量的孩子，则会浪费大量存储空间。

所幸的是，有一个巧妙的方法可以用来表示孩子数任意的树。该方法的优势在于，对任意$n$个结点的有根树，只需要$O(n)$的存储空间。这种左孩子右兄弟表示法。如下图所示，和前述方法类似，每个结点都包含一个父结点指针$p$，且$T.root$指向树$T$的根结点。然而，每个结点中不是包含指向每个孩子的指针，而是只有两个指针：

1. $x.leftchild$指向结点$x$最左边的孩子结点。
2. $x.rightsibling$指向$x$右侧相邻的兄弟结点

如果结点$x$没有孩子结点，则$x.leftchild=None$；如果结点$x$是其父结点的最右孩子，则$x.rightsibling=None$。

树的其他表示方法

我们有时也用其他方法表示有根树。例如我们对一棵完全二叉树可以使用堆来表示，堆用一个单数组加上堆的最末结点的下标表示。有的树只需向根结点方向遍历，因此只需提供父结点的指针，而没有指向孩子结点的指针。还有许多其他的表示方法。哪种方法最优取决于具体应用。

最后

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