判断一个数能否被另一个数整除

判断题的解答

　　【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。例如

　　（1）判断76935能否被3整除。先直接筛去能被3整除的6、9、3，剩下的7与5，和为3的倍数，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。

　　（2）判断3165493能否被3整除。先直接筛去3的倍数3、6、9、

能整除3165493，或3165493不能被3整除。）

　　【能否被7整除】一个数能否被7整除，只要把这个数的末位数字截去，再从余下的数中，减去这个末位数字的2 倍，如果这时能看出所得的差能被7整除，则原来的数就能被7整除，否则就不能被7整除；若是仍看不出来，就要继续上述过程，直到能清楚作出判断为止。例如，判断133能否被7整除：

　　因为差数7能被7整除，所以7|133。

　　这是什么原因呢？请看下面的算式：

　　133×2＝（13×10＋3）×2

　　＝13×20＋3×2

　　=13×（21-1）+3×2

　　=13×21－13＋3×2

　　=13×7×3-（13-3×2）

　　显然，13×7×3中有约数7，它能被7整除，故只要检验后面的（13-3×2）能否被7整除就可以了。（原理可见第一部分的整除性定理）

　　如果要判断的数的位数很多，那么，将这种做法一直进行下去就是。例如，判断62433能否被7整除：

　　∵7|42，∴7|62433

　　这样的判定方法可称作“割尾法”。一个数能否被11、13、17和19整除，也可用割尾法去判断。

　　【能否被11整除】判断一个数能否被11整除，可以采用割尾法、奇偶位差法及分节求和法。

　　（1）割尾法。一个数能否被11整除，只要把它的末尾数字截去，从余下的数里减去这个末位数，看所得的差能否被11整除。差能整除的，原来的数就能整除；差不能整除的，原来的数就不能整除。如一次所得的差还看不出能否被11整除，就继续上述过程，直到能作出判断为止。例如，判断2629能否被11整除：

　　因为11｜22，所以11｜2629。

　　之所以能这么判断，原因在于

　　2629=2620+9

　　=262×10+9

　　=262×（11-1）+9

　　=262×11-262+9

　　=262×11-（262-9）

　　在262×11中有因数11，所以只要看（262-9）的差能否被11整除，就可判断原来的2629能否被11整除。

　　而（262-9）的差是253，

　　253=250+3

　　=25×10+3

　　=25×（11-1）+3

　　=25×11-25+3

　　=25×11-（25-3）

　　同样，只要看（25-3）能否被11整除，就会知道253能否被11整除。进而便可知2629能否被11整除了。

　　（2）奇偶位差法。判断一个数能否被11整除，可先分别求出此数的奇位数字之和及偶位数字之和，再求这两个和的差数，若这个差能被11整除，则原来的那个数就能被11整除；否则，原来的数就不能被11整除。例如，判断823724能否被11整除：

　　∵它的奇位数字之和为4+7+2=13（数位数，从右边个位开始往左数），

　　它的偶位数字的和为2+3+8=13

　　两个和的差数是13-13=0（两数不等时用大数减小数）

　　而 11｜0

　　∴11｜823724

　　之所以能这样判断，是因为

　　823，724

　　=8×100，000+2×10，000+3×1，000+7×100+2×10+4

　　=8×（100，001-1）+2×（9，999+1）+3×（1，001-1）+7×（99+1）+2×（11-1）+4

　　=8×100，001+2×9，999+3×1，001+7×99+2×11+[（2+7+4）-（8+3+2）]

　　显然，在前几项中，因数100，001、9，999、1，001、99、11都是11的倍数，故只需检验[（2+7+4）-（8+3+2）]

　　能否被11整除，就可以作出判断了。

　　（3）分节求和法。把一个自然数从右向左每两位截为一节，然后把这些节加起来。若所得的和能被11整除，那么这个数就能被11整除；否则，这个数就不能被11整除。在这一情况下，如果仍不能作出判断，那就继续上述过程，直到清楚地作出判断为止。例如，判断762421能否被11整除：

　　这一判断方法的理由，可见下面的算式：

　　762421=76×10000+24×100+21

　　=76×（9999+1）+24×（99+1）+21

　　=76×9999+76+24×99+24+21

　　=76×9999+24×99+（76+24+21）

　　在前两项中，因数9999和9都能被11整除，所以只需要检验后面的（76+24+21）能否被11整除了。能整除的原数就能被11整除；不能整除的原数，就不能被11整除。

　　【能否被13整除】一个数能否被13整除，可采用“割尾法”判断：截去末位数字，余下的数加上末位数的4倍。所得的和是13的倍数，则这个数就能被13整除，否则，就不能被13整除。要是割尾一次仍不能作出判断，那就继续割尾，直到能作出判断为止。例如，判断364能否被13整除：

　　∵13｜52，∴13｜364。

　　这一判断的理由，可由下式看出：

　　364×4=（36×10+4）×4

　　=36×40+4×4

　　=36×（39+1）+4×4

　　=36×39+36+4×4

　　=36×13×3+（36+4×4）

　　前面的36×13×3中，有约数13，所以作出判断时，只需要检验（36+4×4）是否能被13整除了。

　　【能否被17整除】一个数能否被17整除，同样可用“割尾法”作巧妙而快速地判断。不过，具体地做法有所不同。例如，判断731能否被17整除，判断方法如下：

　　∵17｜68，∴17｜731。

　　这样做的理由，可见下面的算式推导：

　　731×5=（73×10+1）×5

　　=73×50+1×5

　　=73×（51-1）+1×5

　　=73×51-73+1×5

　　=73×17×3-（73-1×5）

　　由于前面的73×17×3有约数17，故只需检验（73-1×5）能否被17整除，就知道“731×5”能否被17整除。知道“731×5”能否被17整除，也就是知道731能否被17整除了（根据整除性定理）。

　　若是“割尾”一次仍不能作出判断，那就依法继续割尾下去，直到能作出判断为止。例如，判断279191能否被17整除， 可以作如下割尾判断：

　　∵17｜17，∴17｜279191

　　【能否被19整除】一个数能否被19整除，也是可用“割尾法”作巧妙判断的，具体做法如

　　判断475能否被19整除：

　　∵19｜57，∴19｜475。

　　其中的道理，可见下面的算式推导：

　　475×2=（47×10+5）×2

　　=47×20+5×2

　　=47×（19+1）+5×2

　　=47×19+（47+5×2）

　　最后算式中的47×19有约数19，故只需要检验（47+5×2）能否被19整除，就知道“475×2”及“475”能否被19整除了。

　　如果一次“割尾”仍不能作出判断，那就继续“割尾”下去，直至能作出判断为止。例如，判断14785能否被19整除：

最后

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