Codeforces Round #236 (Div. 1) D. Beautiful Pairs of Numbers

http://codeforces.com/contest/403/problem/D

D. Beautiful Pairs of Numbers

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3 seconds

memory limit pertest

256 megabytes

input

standard input

output

standard output

The sequence ofinteger pairs (a₁, b₁), (a₂, b₂), ..., (a_k, b_k) is beautiful,if the following statements are fulfilled:

·        1 ≤ a₁ ≤ b₁ < a₂ ≤ b₂ < ... < a_k ≤ b_k ≤ n, where n is a givenpositive integer;

·        all numbers b₁ - a₁, b₂ - a₂, ..., b_k - a_k aredistinct.

For the givennumber n find the number of beautiful sequences of length k. As the answercan be rather large, print the remainder after dividing it by 1000000007 (10⁹ + 7).

Input

The first line containsinteger t (1 ≤ t ≤  2·10⁵) — the numberof the test data.

Each of thenext t linescontains two integers n and k (1 ≤ k ≤ n ≤ 1000).

Output

For each testfrom the input print the answer to the problem modulo 1000000007 (10⁹ + 7). Print theanswers to the tests in the order in which the tests are given in the input.

Sample test(s)

input

6

1 1

2 1

2 2

3 1

3 2

3 3

output

1

3

0

6

2

0

Note

In the firsttest sample there is exactly one beautiful sequence: (1, 1).

In the secondtest sample, the following sequences are beautiful:

·        (1, 1);

·        (1, 2);

·        (2, 2).

In the fourthtest sample, the following sequences are beautiful:

·        (1, 1);

·        (1, 2);

·        (1, 3);

·        (2, 2);

·        (2, 3);

·        (3, 3).

In the fifthtest sample, the following sequences are beautiful:

·        (1, 1), (2, 3);

·        (1, 2), (3, 3).

In the third andsixth samples, there are no beautiful sequences.

解题思路：

首先，每个pair差值都不相等，同样每个pair没有任何交集，that is ，b1<a2.

假设pair的差值是递增的，观察最小的pair组合：(1,1) (2,3) (4,6) (7,10) (11,15) (16,21)(22,28)

每个整数看做一个点，每个pair是一个区间，区间的长度为：1,2,3,4,5,6

因此对于输入的n,k，题目的问题等价于：计算k个长度不同的区间在[1,n]的数轴上有多上中分配方法。

例如 n=3, k=2.

[1,n]的数轴为 [1,3]，数轴的长度=3，因此k个长度不同的区间只能是，长度为1 和长度为2 的区间.

因此分配方式是 1+2 和 2+1，两种。

又例如n=4, k=2.

数轴[1,4]，长度=4。2个不同的区间，其长度可以是 1,2,3，

组合情况有 1+2, 1+3 两类。

对于1+2，结果有6中，[1 gap 2] ，[gap 1 2]，[1 2 gap]，[2 gap 1] ，[gap 2 1]，[2 1 gap]，gap是区间没有覆盖的一个点。

对于1+3，结果又2种，[1,3]  [3,1]

共8种。

以上是思路的理解，下面是详细解法。

首先，需要计算出一个正整数n划分为k个不同的正整数，有多少种划分方法，记为dp[n][k]。

当程序输入n,k是，k个区间占用长度为i，则数轴上有k个长度不同的区间，有n-i个多余的gap点，因此这种情况有 (k+n-i)!/(n-i)! * dp[i][k]种分配方法，

·)前一部分(k+n-i)!/(n-i)!，即A(k + n-i,k).可以看出，1+2+...+45 >1000，因此k>45的情况答案都是0，可以限定k<45.因此需要预处理A(1000,45)

·)后一部分dp[i][k]的计算：

注意看以下等式，a+b+c = 3*a + (b-a) + (c-a). 也就是当 a,b,c是递增时（a最小是1），则 b-a,c-a 也是递增（b-a最小是1）。【子问题】

如是，dp[n][k]可以从dp[n-k*a][k-1]转换，重点落在最小的a是怎么取值。

ps：很久没有写acm博客了，原谅这一次写的这么不规范，大致意思还是能看懂。

最后

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