用Java【普利姆算法】解决修路问题

一、介绍

• 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
• 普利姆的算法:
  • 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
  • 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
  • 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
  • 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

二、最小生成树

• 修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。

1. 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
2. N个顶点，一定有N-1条边
3. 包含全部顶点
4. N-1条边都在图中
5. 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
   例图：
   

三、应用场景-修路问题

• 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
• 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
• 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
  
• 思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。

四、代码实现

/**
 * 普利姆算法
 */
public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        final int max = Integer.MAX_VALUE;

        char[] data = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int peaks = data.length;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示
        int[][] weight = {
                {max, 5, 7, max, max, max, 2},
                {5, max, max, 9, max, max, 3},
                {7, max, max, max, 8, max, max},
                {max, 9, max, max, max, 4, max},
                {max, max, 8, max, max, 5, 4},
                {max, max, max, 4, 5, max, 6},
                {2, 3, max, max, 4, 6, max}
        };
        //创建一个MinTree对象
        MinTree minTree = new MinTree(peaks, data, weight);
        minTree.showResult();
    }
}

/**
 * 创建最小生成树 / 图
 */
class MinTree {
    //用于保存基本图
    MinGraph graph;
    //保存结果集
    resultPeak[] result;
    int resultIndex;

    public MinTree(int peaks, char data[], int[][] weight) {
        //创建MinGraph对象
        graph = new MinGraph(peaks);
        //创建结果集
        result = new resultPeak[peaks];

        //创建图
        createGraph(peaks, data, weight);
        //运行普利姆算法
        prim(graph, 1);

    }

    /**
     * 创建图
     *
     * @param peaks  顶点个数
     * @param data   顶点的值
     * @param weight 邻接矩阵
     */
    public void createGraph(int peaks, char data[], int[][] weight) {
        for (int i = 0; i < peaks; i++) {
            graph.data[i] = data[i];
            for (int j = 0; j < peaks; j++) {
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }

    }

    /**
     * 显示邻接矩阵
     *
     * @param graph 邻接矩阵
     */
    public void showGraph(MinGraph graph) {
        System.out.println("----------邻接矩阵----------");
        for (int[] link : graph.weight) {
            for (int i = 0; i < link.length; i++) {
                System.out.printf("%12d", link[i]);
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println("----------邻接矩阵----------");
    }

    /**
     * 得到最小生成树
     *
     * @param graph
     * @param index
     */
    public void prim(MinGraph graph, int index) {
        // 标记顶点是否被访问过,默认值为0，代表没访问过,访问过设为1
        int visited[] = new int[graph.peakSize];

        // 把当前结点标记为已访问
        visited[index] = 1;
        //记录两个顶点的下标
        int peakIndex1 = -1;
        int peakIndex2 = -1;
        //将minWeight 初始化为Integer.MAX_VALUE;
        int minWeight = Integer.MAX_VALUE;
        //
        for (int k = 1; k < graph.peakSize; k++) {

            for (int i = 0; i < graph.peakSize; i++) {
                for (int j = 0; j < graph.peakSize; j++) {
                    //判断已访问过的结点 和 未访问过的结点间的最小权值的边
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        //替换minWeight
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        peakIndex1 = i;
                        peakIndex2 = j;
                    }
                }
            }
            //找到权值最小的一条边,将其保存
            result[resultIndex++] = new resultPeak(graph.data[peakIndex1],graph.data[peakIndex2],minWeight);
//            System.out.println("边<" + graph.data[peakIndex1] + "," + graph.data[peakIndex2] + "> weight:" + minWeight);
            //将当前这个结点标记为已访问
            visited[peakIndex2] = 1;
            //将minWeight恢复默认
            minWeight = Integer.MAX_VALUE;
        }
    }

    /**
     * 输出结果集
     */
    public void showResult() {
        System.out.println("----------结果集----------");
        for (int i = 0; i < result.length; i++) {
            if(result[i] != null){
                System.out.println(result[i]);
            }
        }
        System.out.println("----------结果集----------");
    }
}

/**
 * 图对象
 */
class MinGraph {
    //图的节点个数
    int peakSize;
    //节点数据
    char[] data;
    //存放边,邻接矩阵
    int[][] weight;

    public MinGraph(int peakSize) {
        this.peakSize = peakSize;
        data = new char[peakSize];
        weight = new int[peakSize][peakSize];
    }
}

class resultPeak {
    char begin;
    char end;
    int weight;

    public resultPeak(char begin, char end, int weight) {
        this.begin = begin;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "resultPeak{" + begin + " --> " + end + "  weight=" + weight + '}';
    }
}

最后

以上就是苹果方盒为你收集整理的用Java【普利姆算法】解决修路问题的全部内容，希望文章能够帮你解决用Java【普利姆算法】解决修路问题所遇到的程序开发问题。

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