背包问题

假设你是个小偷，背着一个可装4磅东西的背包。你可盗窃的商品有如下3件。

为了让盗窃的商品价值最高，你该选择哪些商品？

简单算法

最简单的算法如下：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最高的组合。

这样可行，但速度非常慢。在有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；有4件商品时，你需要计算16个集合。每增加一件商品，需要计算的集合数都将翻倍！这种算法的运行时间为O(2n)，真的是慢如蜗牛。只要商品数量多到一定程度，这种算法就行不通。

动态规划

答案是使用动态规划！下面来看看动态规划算法的工作原理。动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。
对于背包问题，你先解决小背包（子背包）问题，再逐步解决原来的问题。

动态规划是一个难以理解的概念，如果你没有立即搞懂，也不用担心，我们将研究很多示例。先来演示这种算法的执行过程。看过执行过程后，你心里将有一大堆问题！我将竭尽所能解答这些问题。
每个动态规划算法都从一个网格开始，背包问题的网格如下。

网格的各行为商品，各列为不同容量（1～4磅）的背包。所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算子背包的价值。

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格，网格填满后，就找到了问题的答案！你一定要跟着做。请你创建网格，我们一起来填满它。

1. 吉他（第一行）

后面将列出计算这个网格中单元格值的公式。我们先来一步一步做。首先来看第一行。

这是吉他行，意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格，都需要做一个简单的决定：

偷不偷吉他？别忘了，你要找出一个价值最高的商品集合。

第一个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为1500美元。
下面来开始填充网格。

与这个单元格一样，每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。
来看下一个单元格。这个单元格表示背包的容量为2磅，完全能够装下吉他！

这行的其他单元格也一样。别忘了，这是第一行，只有吉他可供你选择。换言之，你假装现在还没法盗窃其他两件商品。

此时你很可能心存疑惑：原来的问题说的是4磅的背包，我们为何要考虑容量为1磅、 2磅等的背包呢？前面说过，动态规划从小问题着手，逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。请接着往下读，稍后你就会明白的。
此时网格应类似于下面这样。

别忘了， 你要做的是让背包中商品的价值最大。 这行表示的是当前的最大价值。它指出，如果你有一个容量4磅的背包，可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。

你知道这不是最终的解。随着算法往下执行，你将逐步修改最大价值。

2. 音响行
我们来填充下一行——音响行。你现在出于第二行，可偷的商品有吉他和音响。在每一行，可偷的商品都为当前行的商品以及之前各行的商品。因此，当前你还不能偷笔记本电脑，而只能偷音响和吉他。我们先来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。在此之前，可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。

该不该偷音响呢？
背包的容量为1磅，能装下音响吗？音响太重了，装不下！由于容量1磅的背包装不下音响，
因此最大价值依然是1500美元。

接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中，背包的容量分别为2磅和3磅，而以前的最大价值为1500美元。

由于这些背包装不下音响，因此最大价值保持不变。
背包容量为4磅呢？终于能够装下音响了！原来的最大价值为1500美元，但如果在背包中装入音响而不是吉他，价值将为3000美元！因此还是偷音响吧。

你更新了最大价值！如果背包的容量为4磅，就能装入价值至少3000美元的商品。在这个网格中，你逐步地更新最大价值。

3. 笔记本电脑行
下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅，没法将其装入容量为1磅或2磅的背包，因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。

对于容量为3磅的背包，原来的最大价值为1500美元，但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他，这样新的最大价值将为2000美元！

对于容量为4磅的背包，情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元，你可不偷音响，而偷笔记本电脑，但它只值2000美元。

价值没有原来高。但等一等，笔记本电脑的重量只有3磅，背包还有1磅的容量没用！

在1磅的容量中，可装入的商品的最大价值是多少呢？你之前计算过。

根据之前计算的最大价值可知，在1磅的容量中可装入吉他，价值1500美元。因此，你需要做如下比较。

你可能始终心存疑惑：为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢？但愿你现在明白了其中的原因！余下了空间时，你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元，因此偷它们是更好的选择。最终的网格类似于下面这样。

答案如下：将吉他和笔记本电脑装入背包时价值最高，为3500美元。
你可能认为，计算最后一个单元格的价值时，我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时，我故意避开了一些复杂的因素。其实，计算每个单元格的价值时，使用的公式都相同。这个公式如下。

为什么（i - 1）：因为不减一可能会多次引用一个商品，如第一行的吉他。

你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值，最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题吧？你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

背包问题 FAQ

你可能还是觉得这像是变魔术。下面将回答一些常见的问题。

再增加一件商品将如何呢

假设你发现还有第四件商品可偷——一个iPhone！

此时需要重新执行前面所做的计算吗？不需要。别忘了，动态规划逐步计算最大价值。到目前为止，计算出的最大价值如下。

这意味着背包容量为4磅时，你最多可偷价值3500美元的商品。但这是以前的情况，下面再添加表示iPhone的行。

最大价值可能发生变化！请尝试填充这个新增的行，再接着往下读。
我们从第一个单元格开始。 iPhone可装入容量为1磅的背包。之前的最大价值为1500美元，但iPhone价值2000美元，因此该偷iPhone而不是吉他。

在下一个单元格中，你可装入iPhone和吉他。

对于第三个单元格，也没有比装入iPhone和吉他更好的选择了。
对于最后一个单元格，情况比较有趣。当前的最大价值为3500美元，但你可偷iPhone，这将余下3磅的容量。

3磅容量的最大价值为2000美元！再加上iPhone价值2000美元，总价值为4000美元。新的最大价值诞生了！
最终的网格如下。

问题：沿着一列往下走时，最大价值有可能降低吗？

请找出这个问题的答案，再接着往下读。
答案：不可能。每次迭代时，你都存储当前的最大价值。最大价值不可能比以前低！

行的排列顺序发生变化时结果将如何

答案会随之变化吗？假设你按如下顺序填充各行：音响、笔记本电脑、吉他。网格将会是什么样的？请自己动手填充这个网格，再接着往下读。网格将类似于下面这样。

答案没有变化。也就是说，各行的排列顺序无关紧要。

旅游行程最优化

假设你要去伦敦度假，假期两天，但你想去游览的地方很多。你没法前往每个地方游览，因此你列个单子。

对于想去游览的每个名胜，都列出所需的时间以及你有多想去看看。根据这个清单，你能确定该去游览哪些名胜吗？
这也是一个背包问题！但约束条件不是背包的容量，而是有限的时间；不是决定该装入哪些商品，而是决定该去游览哪些名胜。请根据这个清单绘制动态规划网格，再接着往下读。
网格类似于下面这样。

你画对了吗？请填充这个网格，决定该游览哪些名胜。答案如下。

处理相互依赖的情况
假设你还想去巴黎，因此在前述清单中又添加了几项。

去这些地方游览需要很长时间，因为你先得从伦敦前往巴黎，这需要半天时间。如果这3个地方都去玩，是不是要4.5天呢？

不是的，因为不是去每个地方都得先从伦敦到巴黎。到达巴黎后，每个地方都只需1天时间。因此玩这3个地方需要的总时间为3.5天（半天从伦敦到巴黎，每个地方1天），而不是4.5天。

将埃菲尔铁塔加入“背包”后，卢浮宫将更“便宜”：只要1天时间，而不是1.5天。如何使用动态规划对这种情况建模呢？

没办法建模。动态规划功能强大，它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。 但仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划才管用。 这意味着使用动态规划算法解决不了去巴黎玩的问题。

计算最终的解时会涉及两个以上的子背包吗

为获得前述背包问题的最优解，可能需要偷两件以上的商品。但根据动态规划算法的设计，最多只需合并两个子背包，即根本不会涉及两个以上的子背包。不过这些子背包可能又包含子背包。

最优解可能导致背包没装满吗

完全可能。假设你还可以偷一颗钻石。
这颗钻石非常大，重达3.5磅，价值100万美元，比其他商品都值钱得多。你绝对应该把它给偷了！但当你这样做时，余下的容量只有0.5磅，别的什么都装不下。

最长公共子串

下面再来看一个例子。假设你管理着网站dictionary.com。用户在该网站输入单词时，你需要给出其定义。

但如果用户拼错了，你必须猜测他原本要输入的是什么单词。例如，Alex想查单词fish，但不小心输入了hish。在你的字典中，根本就没有
这样的单词，但有几个类似的单词。

在这个例子中，只有两个类似的单词，真是太小儿科了。实际上，类似的单词很可能有数千个。
Alex输入了hish，那他原本要输入的是fish还是vista呢？

如何将这个问题划分为子问题呢？你可能需要比较子串：不是比较hish和fish，而是先比较his和fis。每个单元格都将包含这两个子串的最长公共子串的长度。这也给你提供了线索，让你觉得坐标轴很可能是这两个单词。因此，网格可能类似于下面这样。

最长公共子序列之解决方案
最终的网格如下。

下面是填写各个单元格时使用的公式。

伪代码如下。

if (word_a[i] == word_b[j])           //两个字母相同
    cell[i][j] = cell[i-1][j-1] + 1
else                              //两个字母不同
    cell[i][j] = max(cell[i-1][j], cell[i][j-1])

通过前面的动态规划问题，你得到了哪些启示呢？

• 动态规划可帮助你在给定约束条件下找到最优解。在背包问题中，你必须在背包容量给定的情况下，偷到价值最高的商品。
• 在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时，就可使用动态规划来解决。

要设计出动态规划解决方案可能很难，这正是本节要介绍的。下面是一些通用的小贴士。

• 每种动态规划解决方案都涉及网格。
• 单元格中的值通常就是你要优化的值。在前面的背包问题中，单元格的值为商品的价值。
• 每个单元格都是一个子问题，因此你应考虑如何将问题分成子问题，这有助于你找出网格的坐标轴。

简单小问题：=====================================

练习一：

给定一个有n（n>=1）个整数的序列，其中至少有一个正整数，求出该序列的最大序列和？

如：-2, 11, -4, 13, -5, -2：最大为（11，-4，13）20

用动态规划的思想：每一个前面的和都会影响后面的的和。所以做个列表

实例代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include <vector>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int fun(vector<int> a)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int sum = 0;
    int my_max = -256;
    for (i = 0; i < a.size(); ++i) {
        sum = 0;
        for (j = i; j < a.size(); ++j) {
            sum += a[j];
            if (sum > my_max) my_max = sum;
        }
    }
    return my_max;
}
int main()
{
    int a[6] = {-2, 11, -4, 13, -5, -2};
    vector<int> b(a, a+6);
    cout<<fun(b);
    return 1;
}

最后

以上就是无辜河马为你收集整理的算法学习(5)：动态规划算法简单小问题：=====================================的全部内容，希望文章能够帮你解决算法学习(5)：动态规划算法简单小问题：=====================================所遇到的程序开发问题。

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