二阶泰勒展开：
f(x)=f(0)+f′Tx+12xTf′′x+o(⋅)
对等式右端求导，并置 0，得 x=f′′−1f′
1. 方向导数与梯度
设有单位向量
h=(h1,h2,⋯,hn)∈Rn
（当然不要求
hi
之间必须相等），它表示
n
维空间中的一个方向（长度是单位 1），可微（多元）函数
∂f(x)∂h=limα→0+f(x+αh)−f(x)α
对 f(x+αh) 执行（在 x 处）泰勒展开：
f(x+αh)=f(x)+∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)
因此方向导数定义式进一步可化为：
∂f(x)∂h===∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)α∇f(x)Th∥∇f(x)∥cos(∇f(x),h)
所以其沿任意方向的导数为： hT∇f ：
- 大于 0，为上升方向（ f(x+αh)−f(x)>0 ）；
- 小于 0，则为下降方向（ f(x+αh)−f(x)<0 ）；
- cos(∇f(x),h)=1 （夹角为 0°， h=∇f ） 时， ∂f∂h 取的最大值，为 ∥∇f∥ ， h=∇f 为最速上升方向；
- cos(∇f(x),h)=−1 （夹角为 180°， h=−∇f ） 时， ∂f∂h 取得最小值，为 −∥∇f∥ ， h=−∇f 为最速下降方向；
2. 几种特殊类型的函数，求梯度
自然是对自变量 x 求偏导；求梯度得到的是一个列向量；
bTx=∑ibixi ，则 ∇bTx=b
xTx=∑ix2i ，则 ∇xTx=2x
xTAx （ AT=A ），则 ∇xTAx=2Ax
最后
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