用Scipy理解Gamma函数

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我是靠谱客的博主香蕉纸飞机，这篇文章主要介绍用Scipy理解Gamma函数，现在分享给大家，希望可以做个参考。

文章目录

- Gamma函数
- 对数Gamma函数
- 复数域的Gamma函数

Gamma函数

$Γ$ 函数是阶乘的解析延拓，在概率论中非常常见，例如Gamma分布表示某个事件在某个时刻发生第 $n$ 次的概率：Gamma分布详解

$Γ$ 函数显含在 $Γ$ 分布中，其表达式可以写为

$Gamma(z)=int^infty_0 t^{z-1}e{-t}text dt$

当 $z$ 为正整数时，有 $Γ (z) = (z - 1)!$ ，其函数图像如下

在这里插入图片描述
绘图代码为

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import numpy as np
from scipy.special import gamma, factorial
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-3.5, 6, 2000)
y = gamma(x)
plt.plot(x, y, 'b')
plt.ylim(-100, 150)
k = np.arange(1, 7)
plt.plot(k, factorial(k-1), 'k*')
plt.grid()
plt.xlabel('x')
plt.show()

对数Gamma函数

鉴于阶乘函数发散得十分迅速，故而scipy提供了两种对数的Gamma函数，分别是gammaln和loggamma，其中后者的自变量大于0。其图像为

在这里插入图片描述

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import scipy.special as sc
x = np.linspace(-10, 10, 2000)
plt.plot(x, sc.gammaln(x), 'b')
plt.show()

复数域的Gamma函数

$Γ$ 函数在复数域也有定义，对于 $Γ (x + i y)$ ，其实部可写为

$int^infty_1frac{t^{x-1}}{e^t}cos(yln t)text dt+sum_{k=0}^inftyfrac{(-1)^k}{k!}[frac{k+x}{(k+x)^2+y^2}]$

其虚部可写为

$int^infty_1frac{t^{x-1}}{e^t}sin(yln t)text dt-sum_{k=0}^inftyfrac{(-1)^k}{k!}[frac{y}{(k+x)^2+y^2}]$

scipy中的gamma函数本身就是定义在复数域的，故而可以绘制一下复数域的 $Γ$ 函数

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xs = np.linspace(-5, 5, 2000)
ys = np.linspace(-5, 5, 200)
ys, xs = np.meshgrid(ys,xs)
zs = gamma(xs+1j*ys)
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(xs, ys, zs)
plt.show()