概率论知识要点整理

参考教材：概率论与数理统计(浙大第四版)

Chapter1 概率论的基本概念

• 随机试验
• 样本空间、随机事件(关系及运算)
• 概率的定义和性质
• 古典概型和几何概型
• 条件概率、全概率公式、Bayes公式

Chapter2 随机变量及其分布

离散型随机变量的分布律

1. 0-1分布
2. 二项分布
   P { X = k } = C n k p k q n − k , k = 0 , 1 , ⋯   , n Plbrace X=k rbrace=C^k_np^kq^{n-k} , k=0,1,cdots,n P{X=k}=Cnk​pkqn−k,k=0,1,⋯,n
3. 泊松分布
   P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ Plbrace X=k rbrace=frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!},k=0,1,2,cdots P{X=k}=k!λke−λ​,k=0,1,2,⋯

连续型随机变量的概率密度函数

1. 均匀分布
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{a<x<b}\\ 0,& \text{else}\end{array}$$
2. 正态分布
   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\delta }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\delta }^2}},-\infty <x<\infty$$
3. 指数分布
   $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta },& \text{x>0}\\ 0,& \text{else}\end{array}$$

随机变量函数的分布

利用分布函数法求得，先利用定义写出分布函数，然后求导得概率密度函数.

Chapter3 随机向量及其分布

一、分布

• 离散型：联合分布律
• 连续型：联合概率密度

1. 均匀分布
2. 二维正态
   f ( x , y ) = 1 2 π δ 1 δ 2 1 − ρ 2 e x p { − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ( ( x − μ 1 ) 2 δ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) δ 1 δ 2 + ( y − μ 2 ) 2 δ 2 2 ) } f(x,y)= frac{1}{2pidelta_1delta_2sqrt{1-rho^2}}exp lbrace -frac{1}{2(1-rho^2)}(frac{(x-mu_1)^2}{delta^2_1}-2rhofrac{(x-mu_1)(y-mu_2)}{delta_1delta_2}+frac{(y-mu_2)^2}{delta^2_2}) rbrace f(x,y)=2πδ1​δ2​1−ρ2 ​1​exp{−2(1−ρ2)1​(δ12​(x−μ1​)2​−2ρδ1​δ2​(x−μ1​)(y−μ2​)​+δ22​(y−μ2​)2​)}

二、边缘分布，有离散型和连续型

三、条件分布

• 离散型
• 连续型
  $$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\text{with fY(y)>0}$$

四、独立性

P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } P { Y = y j } Plbrace X=x_i,Y=y_j rbrace=Plbrace X=x_i rbrace Plbrace Y=y_j rbrace P{X=xi​,Y=yj​}=P{X=xi​}P{Y=yj​}
$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

五、随机向量的函数的分布

1. 和函数

$Z=X+Y，f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx$

2. m a x { X , Y } 、 m i n { X , Y } max{X,Y}、min{X,Y} max{X,Y}、min{X,Y} 利用定义求分布函数，求导可得概率密度函数
    

Chapter4 随机变量的数字特征

一、期望

离散型： $E(X)=\sum _{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$
连续型： $E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$

常用性质：
  1.线性
  2.不相关时的可拆性：若 $X,Y$ 不相关，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

二、方差

$D(X)=E([X-E(X){]}^2)$

常用性质：
1.$D(cX)=c^{2}D(X)$
2.$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y)$
 若$X,Y$不相关，则$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$

常见分布的期望和方差

三、矩

k阶原点矩：$E(X^k)$
k阶中心矩： E { [ X − E ( X ) ] k } E{[X-E(X)]^k} E{[X−E(X)]k}

四、协方差及相关系数

1. 协方差:
   C o v ( X , Y ) = E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
   性质：
   $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
   $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
2. 相关系数
   ${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
   (1)$|{\rho }_{XY}|\le 1$
   (2) ∣ ρ X Y ∣ = 1    ⟺    P { Y = a X + b } = 1 quad |rho_{XY}|=1 iff P{Y=aX+b}=1 ∣ρXY​∣=1⟺P{Y=aX+b}=1

随机向量自身的协方差矩阵了解一下即可，见课本P111。

Chapter5 中心极限定理

1.定理一(独立同分布的中心极限定理)
设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$ 相互独立，且服从同一分布，且具有期望和方差：$E(X_k)=\mu ,D(X_k)={\delta }^2>0(k=1,2,\cdots )$，则随机变量之和 $\sum _{k=1}^n{X}_k$ 的标准化变量
$$Y_n=\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-E({\sum }_{k=1}^n{X}_k)}{\sqrt{D({\sum }_{k=1}^n{X}_k)}}=\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-n\mu }{\sqrt{n}\delta }$$
的分布函数 $F_n(x)$满足：
lim ⁡ n → ∞ F n ( x ) = lim ⁡ n → ∞ P { ∑ k = 1 n X k − n μ n δ ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) ， ∀ x ∈ R lim_{ntoinfty}{F_n(x)}=lim_{ntoinfty}{P{frac{sum_{k=1}^{n}{X_k}-nmu}{sqrt{n}delta}}leq x}=int_{-infty}^{x}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-t^2/2}dt=Phi(x)，forall xin R n→∞lim​Fn​(x)=n→∞lim​P{n ​δ∑k=1n​Xk​−nμ​≤x}=∫−∞x​2π ​1​e−t2/2dt=Φ(x)，∀x∈R

2. 定理二
设随机变量 ${\eta }_n(n=1,2,\cdots )$ 服从参数为 $n,p(0<p<1)$ 的二项分布，则
lim ⁡ n → ∞ P { η n − n p n p ( 1 − p ) ≤ x } = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 / 2 d t = Φ ( x ) ， ∀ x ∈ R lim_{ntoinfty}{P{frac{eta_n-np}{sqrt{np(1-p)}}leq x}}=int_{-infty}^{x}frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-t^2/2}dt=Phi(x)，forall xin R n→∞lim​P{np(1−p) ​ηn​−np​≤x}=∫−∞x​2π ​1​e−t2/2dt=Φ(x)，∀x∈R
 

Chapter6 样本及抽样分布

1.统计量 P136

2.抽样分布 P138~P143

Chapter7 参数估计

矩估计

1. 写出总体矩和参数的关系；
2. 用样本矩代替总体矩；
3. 如需求估计值，进行相应的转化；

极大似然估计

1. 确定似然函数.
   离散型：$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}p(x_i;\theta )$
   连续型：$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )$
2. 找出似然函数的最大值所对应的 $\theta$ 值.(注：以 $\theta$ 为变量，通常通过求导运算求得，观察值 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 落在可能取值范围内)

区间估计

1. 选取主元 $Z$；
2. 确定事件 P { a < Z < b } = 1 − α P{a<Z<b}=1-alpha P{a<Z<b}=1−α，一般取 $[a,b]$ 为对称区间；
3. 解不等式 $a<Z<b$，代入数值，求得置信区间；

正态总体主元的选取

Chapter8 假设检验

一般步骤

1. 提出原假设 $H_0$ 和备选假设 $H_1$；
2. 确定检验统计量 $T$；
3. 根据显著性水平 $\alpha$ 给出拒绝域；
4. 代入数值计算，并作出决策；

参照表格：P189

最后

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