本文介绍k近邻法（k-nearest neighbor, k-NN）和kd树算法。

0x01、k近邻法简介

k近邻法是基本且简单的分类与回归方法。k近邻法的基本做法是：对给定的训练实例点和输入实例点，首先确定输入实例点的k个最近邻训练实例点，然后利用这k个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类。

k近邻模型对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分。k近邻法中，当训练集、距离度量、k值及分类决策规则确定后，其结果唯一确定。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的  距离。k 值小时，k近邻模型更复杂，k值大时，k近邻模型更简单。k值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡，通常由交叉验证选择最优的k。常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验风险最小化。

k近邻法的实现需要考虑如何快速搜索k个最近邻点。kd树是一种便于对k维空间中的数据进行快速检索的数据结构，kd树是二叉树，表示对k维空间的一个划分，其每个结点对应于k维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的计算量。

0x02、k近邻模型

k近邻法使用的模型实际上对应于特征空间的划分。模型由三个基本要素：距离度量、k值的选择和分类决策规则决定。特征空间中，对于每个训练实例点，距离该点比其他点更近的所有点组成一个区域，叫做单元（cell）。每个训练实例点拥有一个单元，所有训练实例点的单元构成对特征空间的一个划分。最近邻法将实例  的类  作为其单元中所有点的类标记（class label），这样，每个单元的实例点的类别是确定的。

1、距离度量

设特征空间  是 n 维实数向量空间  ， ， ， 的  距离定义为：

这里  。

当  时，称为欧氏距离（Euclidean distance），即：

当  时，称为曼哈顿距离（Manhattan distance），即：

当  时，它是各个坐标距离的最大值（闵氏距离），即：

2、k值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响。k值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；k值的增大意味着整体的模型变得简单。

如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差（approximation error）会减小，只有与输入实例较近的（相似的）训练实例才会对预测结果起作用。但缺点是“学习”的估计误差（estimation error）会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。

如果选择较大的k值，就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，缺点是学习的近似误差会增大，这时与输入实例较远的（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。

在应用中k值一般取一个比较小的数值。通常采用交叉验证法来选取最优的k值。

3、分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的k个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。

多数表决规则（majority voting rule）：如果分类的损失函数为0-1损失函数，分类函数为： ，

那么误分类的概率是： 。对给定的实例  ，其近邻的k个训练实例点构成集合  。如果涵盖  的区域的类别是  ，那么误分类率是：

要是误分类率最小即经验风险最小，就要使     最大，所以多数表决规则等价于经验风险最小。

4、kd树

kd树表示对k维空间的一个划分（partition），构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将k维空间切分，构成一系列的k维超矩形区域，kd树的每个结点对应于一个k维超矩形区域。

（1）构造kd树的方法

方法如下：构造根结点，使根结点对应于k维空间中包含所有实例点的超矩形区域：通过递归，不断地对k维空间进行切分，生成子节点。通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数（median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

（2）搜索kd树

给定一个目标点，搜索其最近邻。首先找到包含目标点的叶结点，然后从该叶结点出发，依次回退到父结点，不断查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止。这样搜索就被限制在空间的局部区域上，效率大为提高。

0x03、k近邻算法

1、基本k近邻算法

k近邻算法简单直观：给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分为这个类。k近邻法没有显式的 学习过程。

输入：训练数据集  ，其中，  为实例的特征向量， 为实例的类别， ；实例特征向量  ；

输出：实例  所属的类  。

（1）根据给定的距离度量，在训练集 T 中找出与 最邻近的 个点，涵盖这 个点的 的邻域记作  ；

（2）在  中根据分类决策规则（如多数表决）决定 的类别 ：

其中， 为指示函数，即当  时 为1，否则 为0 。

2、构造平衡kd树算法

输入：k 维空间数据集  ，其中  ；

输出： kd树 。

（1）开始：构造根结点，根结点对应于包含 T 的k维空间的超矩形区域。

选择  为坐标轴，以 T 中所有的实例的  坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个字区域。切分由通过切分点并与坐标轴  垂直的超平面实现。

由根结点生成深度为1 的左右子结点：左子结点对应坐标  小于切分点的子区域，右子结点对应于坐标  大于切分点的子区域。

将落在切分点超平面上的实例点保存在根结点。

（2）重复：对深度为 j 的结点，选择  为切分点的坐标轴，，以该结点的区域中所有实例的  坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴  垂直的超平面实现。

由该结点生成深度为  的左右子结点：左子结点对应坐标  小于切分点的子区域，右子结点对应坐标  大于切分点的子区域。将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。

（3）知道两个子区域没有实例存在时停止，从而形成kd树的区域划分。

3、用kd树的最近邻搜索算法

输入：已构造的kd树，目标点  ；

输出： 的最近邻。

（1）在kd树中找出包含目标点 的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树。若目标点 x 当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点。知道子结点为叶结点为止；

（2）以此叶结点为“当前最近点”；

（3）递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：

        （a）如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”；

        （b）当前最近点一定存在与该结点一个子结点对应的区域。检查该子结点的父结点的另一子结点对应的区域是否有更近的点。具体地，检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与“当前最近点”间的距离为半径的超球体相交。如果相交，可能在另一个子结点对应的区域内存在距目标点更近的点，移动到另一个子结点，接着递归地进行最近邻搜索。如果不相交，向上回退。

（4）当回退到根结点时，搜索结束。最后的“当前最近点”即为  的最近邻点。

0x04、k近邻法在sklearn中的实现

sklearn中的API接口是：sklearn.neighbors。常用方法有：sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier等。

参考：

[1]. 李航. 统计学习方法（第二版）

[2]. sklearn学习第三篇：knn分类 - 博客园

最后

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