K-NN Algorithm（K-NN算法原理）

$\text{k}$ 近邻法（$\text{k-nearest neighbor}$) 是一种基于分类和回归的方法，这里我们只讨论分类问题的 $\text{k}$ 近邻法。$\text{k}$ 近邻输入为实例点的特征向量，输出为实例所属类别。 $\text{k}$ 近邻假定给定了一个训练数据集，其中的实例类别已经确定。分类时，对新的实例，根据其 $\text{k}$ 个最近的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。

1. 算法描述

$\text{Input:}$
T = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x N , y N ) } T={ (x_1,y_1),(x_2,y_2),ldots,(x_N,y_N) } T={(x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xN​,yN​)}
其中，$x_i\in X\subseteq {\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 为实例的特征向量， y i ∈ Y = { c 1 , c 2 , … , c K } y_i in Y={ c_1,c_2,ldots,c_K } yi​∈Y={c1​,c2​,…,cK​}为实例的类别，$i=1,2,\dots ,N$;
$\text{Output:}$
$$y=\arg \underset{c_j}{\max }\sum _{x_i\in N_k\left(x\right)}I\left(y_i=c_j\right),i=1,2,\dots ,N;j=1,2,\dots ,K$$
其中，$N_k(x)$ 为涵盖最近的 $\text{k}$ 个点的邻域；$\text{I}$ 为指示函数，即当 $y_i=c_j$ 时为1，否则为0。通过分类决策规则（多数表决）决定 $x$ 的类别 $y$。

2. 距离向量

特征空间中两个实例点的距离是两个样本相似程度的反映。$\text{k}$ 近邻模型使用的距离一般是欧式空间的欧氏距离，但也可以是其它距离，如一般的$L_p$距离（$L_p\text{ distance}$）或者 $\text{Minkowski}$ 距离（$\text{Minkowski distance}$）。
设特征空间 $X$ 是 $n$ 维实数向量空间 ${\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$，$x_i,x_j\in X,x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\dots ,x_i^{(n)})$，$x_i,x_j$ 的 $L_p$ 定义为：
$$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{i=1}^n{\Vert x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\Vert }^p{)}^{\frac{1}{p}}$$
这里$p\ge 1$，当 $n=2$ 时，就成为欧氏距离，即
$$L_p(x_i,x_j)=(\sum _{i=1}^n{\Vert x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\Vert }^2{)}^{\frac{1}{2}}$$
当 $p=1$ 时，称为曼哈顿距离，即
$$L_p(x_i,x_j)=\sum _{i=1}^n\Vert x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\Vert$$
当 $p=\infty$ 时，它是各个坐标距离的最大值，即
$$L_p(x_i,x_j)=\underset{i}{\max }\Vert x_i^{(l)}-x_j^{(l)}\Vert$$

3. $\text{k}$ 值选择

$\text{k}$ 值的选取会对最终分类结果产生较大的影响。

1. 如果 $\text{k}$ 值过小，则学习的近似误差会下降，只有更输入实例相近的实例点才会起预测作用。但缺点是学习的估计误差会增大，预测结果对近邻的实例点非常敏感，如果实例点恰好是噪声，预测就会出错。容易发生过拟合。
2. 如果 $\text{k}$ 值过大，优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是会造成近似误差的增大。这使与输入实例较远的训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。

因此，需要多次尝试不同 $\text{k}$ 值，然后选取最佳 $\text{k}$ 值。通常做法是 使用交叉验证来选取最优 $\text{k}$ 值。

最后

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