图像算法-膨胀 腐蚀 开操作 闭操作

形态学操作对于二值化图像非常重要，通过形态学操作，来实现对目标的有效分割，为后续的目标定位提供有力的帮助，下面主要详细介绍腐蚀、膨胀、开操作、闭操作四种算法。

假设二值图像为A，结构元为B，举例说明，假设图像A的数据如下：

$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{matrix}$$
结构元B的数据如下：
$$begin{matrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ end{matrix}$$

腐蚀

结构元B对图像A的腐蚀操作定义： ${ z | (B)_z subseteq A }$，具体意义如下：
用结构元B对图像A进行遍历，在遍历过程中，结构元B必须完全包含在图像A中，对于结构元B完全包含在图像A中的坐标，该位置的像素值为1，否则该位置的像素值为0。
进行腐蚀操作后，结果如下：

$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{matrix}$$

膨胀

结构元B对图像A的膨胀操作定义： ${ z | (B)_z cap A neq Ø }$，具体意义如下：
用结构元B对图像A进行遍历，在遍历过程中，结构元B必须和图像A至少有一个元素是重叠的，若结构元B和图像A有重叠，则该位置的像素值为1，否则该位置的像素值为0。
进行膨胀操作后，结果如下：

$$begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ end{matrix}$$

开操作

结构元B对图像A的开操作公式：
1）B对A进行腐蚀操作；
2）B对腐蚀结果进行膨胀操作；

假设图像A的数据如下：

$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{matrix}$$
结构元B的数据如下：
$$begin{matrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ end{matrix}$$
步骤1：先进行腐蚀操作
$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{matrix}$$
步骤2：对腐蚀结果进行膨胀操作
$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{matrix}$$

闭操作

结构元B对图像A的闭操作公式：
1）B对A进行膨胀操作；
2）B对膨胀的结果进行腐蚀操作；

假设图像A，结构元B的数据与开操作相同

步骤1：先进行膨胀操作

$$begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\ end{matrix}$$
步骤2：对膨胀操作进行腐蚀操作
$$begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\ end{matrix}$$

最后

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