第1章 线性空间和线性变换

1.线性空间

• 基变换
  $$(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)P$$

2.线性子空间

• 证明 V 是线性子空间
  $$\{\begin{array}{l}\forall x,y\in V,x+y\in V\\ \forall x\in V,kx\in V\end{array}$$
• 生成子空间
  V = S p a n { x 1 , x 2 , . . . , x n } = { λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + . . . + λ n x n ∣ λ i ∈ R } d i m ( V ) = r ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) begin{aligned} &V=Span{x_1,x_2,...,x_n} = {lambda_1x_1+lambda_2x_2+...+lambda_nx_n mid lambda_i in R} \ &dim(V) = r(x_1,x_2,...,x_n) end{aligned} ​V=Span{x1​,x2​,...,xn​}={λ1​x1​+λ2​x2​+...+λn​xn​∣λi​∈R}dim(V)=r(x1​,x2​,...,xn​)​
• 子空间的和
  V 1 + V 2 = S p a n { x 1 , x 2 , . . . , x r } + S p a n { y 1 , y 2 , . . . , y s } = S p a n { x 1 , x 2 , . . . , x r , y 1 , y 2 , . . . , y s } begin{aligned} V_1+V_2 &= Span{x_1,x_2,...,x_r}+Span{y_1,y_2,...,y_s}\ &= Span{x_1,x_2,...,x_r,y_1,y_2,...,y_s} end{aligned} V1​+V2​​=Span{x1​,x2​,...,xr​}+Span{y1​,y2​,...,ys​}=Span{x1​,x2​,...,xr​,y1​,y2​,...,ys​}​
• 子空间的交
  V 1 ∩ V 2 = S p a n { x 1 , x 2 , . . . , x n } ∩ S p a n { y 1 , y 2 , . . . , y s } = { λ 1 x 1 + . . . + λ r x r ∣ λ 1 x 1 + . . . + λ r x r = μ 1 y 1 + . . . + μ s y s } begin{aligned} V_1cap V_2 &= Span{x_1,x_2,...,x_n}cap Span{y_1,y_2,...,y_s}\ &={lambda_1x_1+...+lambda_rx_r mid lambda_1x_1+...+lambda_rx_r=mu_1y_1+...+mu_sy_s} end{aligned} V1​∩V2​​=Span{x1​,x2​,...,xn​}∩Span{y1​,y2​,...,ys​}={λ1​x1​+...+λr​xr​∣λ1​x1​+...+λr​xr​=μ1​y1​+...+μs​ys​}​
• 维数公式
  $$dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\cap V_2)$$

3.线性变换

• 证明 T 是线性变换
  $$\{\begin{array}{l}T(x+y)=T(x)+T(y)\\ T(\lambda x)=\lambda T(x)\end{array}$$
• 证明 W 是 T 的不变子空间
  $$\forall x\in W,T(x)\in W$$
• 值域、核
  T ( V ) = { T ( x ) ∣ x ∈ V } K e r ( T ) = { x ∣ T x = 0 , x ∈ V } d i m ( T ( V ) ) + d i m ( K e r ( T ) ) = d i m ( V ) T(V) = {T(x) mid x in V} quad Ker(T)={x mid Tx=0,x in V} \ dim(T(V))+dim(Ker(T))=dim(V) T(V)={T(x)∣x∈V}Ker(T)={x∣Tx=0,x∈V}dim(T(V))+dim(Ker(T))=dim(V)
• 线性变换的矩阵表示
  $$T(e_1,e_2,...,e_n)=(e_1,e_2,...,e_n)A$$
• 线性变换后的坐标变换
  $$\begin{gathered} x=(e_1,e_2,...,e_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \\ Tx=(e_1,e_2,...,e_n)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \end{gathered}$$
• T 在两组不同基下的矩阵相似，相似变换矩阵就是两组基的过渡矩阵
  $$\{\begin{array}{l}T(x_1,x_2,...,x_n)=(x_1,x_2,...,x_n)A\\ T(y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)B\\ (y_1,y_2,...,y_n)=(x_1,x_2,...,x_n)P\end{array}⟹P^{-1}AP=B$$

4.内积空间

• 证明为内积空间
  $$\{\begin{array}{l}(x,y)=\overline{(y,x)}\\ (x,x)\ge 0\\ (\lambda x+\mu y,z)=\lambda (x,z)+\mu (y,z)\end{array}$$

• 基本性质
  $$\begin{array}{rl}& (x,\lambda y+\mu z)=\bar{\lambda }(x,y)+\bar{\mu }(x,z)\\ & (0,x)=(x,0)=0\end{array}$$

• Schmidt 正交化
  $$\begin{array}{rl}& u_1=x_1\\ & u_2=x_2-\frac{(x_2,u_1)}{(u_1,u_1)}{u}_1\\ & u_2=x_3-\frac{(x_3,u_1)}{(u_1,u_1)}{u}_1-\frac{(x_3,u_2)}{(u_2,u_2)}{u}_2\end{array}$$

• 正交补空间

5.正交变换和酉变换

$$T为正交变换/酉变换\iff \{\begin{array}{l}1.(Tx,Ty)=(x,y)\\ 2.||Tx||=||x||\\ 3.T把V中的标准正交基变成标准正交基\\ 4.T在标准正交基下的矩阵为正交矩阵/酉矩阵\end{array}$$

第2章 矩阵特征值与Jordan标准型

3.Smith标准型

• k 阶行列式因子：所有非零 k 阶子式的最大公因式
• 不变因子：
• 初等因子：
• Smith标准型：必须满足 $d_i\mid d_{i+1}$
  $$求矩阵A的Smith标准型\iff \{\begin{array}{l}1.对\lambda E-A初等变换\\ 2.先求行列式因子，再求不变因子\end{array}$$
• 初等因子反推不变因子：常用于求分块对角矩阵的 Smith 标准型

5.Jordan标准型

• 每个初等因子对应一个Jordan块：根为对角线元素，次数为阶数

6.最小多项式

• Cayley-Hamilton定理：
  $$f(\lambda )=|\lambda E-A|\Rightarrow f(A)=O$$
• 最小多项式：最后一个不变因子
• 矩阵相似于对角阵的充要条件
  $$矩阵相似于对角阵\iff \{\begin{array}{l}1.有n个线性无关的特征向量\\ 2.所有特征值的代数重数=几何重数\\ 3.初等因子均为一次\\ 4.最小多项式无重根\end{array}$$

第3章 矩阵范数与幂级数

1.向量范数

• $x=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T\in C^n$，注意 $|x_i|$ 是模长，不是绝对值
  ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ∑ i = 1 n ∣ x i ∣ 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ ∞ = max ⁡ { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , . . . , ∣ x n ∣ } begin{aligned} &||x||_1=sum_{i=1}^n|x_i| \ &||x||_2=sqrt{sum_{i=1}^n|x_i|^2}\ &||x||_{infty}=max{|x_1|,|x_2|,...,|x_n|} end{aligned} ​∣∣x∣∣1​=i=1∑n​∣xi​∣∣∣x∣∣2​=i=1∑n​∣xi​∣2 ​∣∣x∣∣∞​=max{∣x1​∣,∣x2​∣,...,∣xn​∣}​

2.矩阵范数

• $A\in C^{n\times n}$，注意 $|a_{ij}|$ 是模长，不是绝对值
  列 范 数 ： ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ { ∑ i = 1 n ∣ a i 1 ∣ , ∑ i = 1 n ∣ a i 2 ∣ , . . . , ∑ i = 1 n ∣ a i n ∣ } 行 范 数 ： ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ = max ⁡ { ∑ j = 1 n ∣ a 1 j ∣ , ∑ j = 1 n ∣ a 2 j ∣ , . . . , ∑ j = 1 n ∣ a n j ∣ } 谱 范 数 ： ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ max ⁡ ( A H A ) F 范 数 ： ∣ ∣ A ∣ ∣ F = ∑ i , j = 1 n ∣ a i j ∣ 2 begin{aligned} &列范数：||A||_1=max {sum_{i=1}^n |a_{i1}|, sum_{i=1}^n |a_{i2}|, ...,sum_{i=1}^n |a_{in}|} \ &行范数：||A||_{infty}=max{sum_{j=1}^n |a_{1j}|,sum_{j=1}^n |a_{2j}|,...,sum_{j=1}^n |a_{nj}|} \ &谱范数：||A||_2=sqrt{lambda_{max}(A^HA)}\ &F范数：||A||_F=sqrt{sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2} end{aligned} ​列范数：∣∣A∣∣1​=max{i=1∑n​∣ai1​∣,i=1∑n​∣ai2​∣,...,i=1∑n​∣ain​∣}行范数：∣∣A∣∣∞​=max{j=1∑n​∣a1j​∣,j=1∑n​∣a2j​∣,...,j=1∑n​∣anj​∣}谱范数：∣∣A∣∣2​=λmax​(AHA) ​F范数：∣∣A∣∣F​=i,j=1∑n​∣aij​∣2 ​​

4.矩阵序列的极限

$$\begin{array}{rl}& \exists ||A||<1\Rightarrow \underset{k\to \infty }{\lim }{A}^k=O\\ & \rho (A)<1\Rightarrow \underset{k\to \infty }{\lim }{A}^k=O\end{array}$$

5.矩阵幂级数

∃   ∣ ∣ A ∣ ∣ < R ⇒ ∑ k = 0 ∞ c k A k 绝 对 收 敛 ρ ( A ) < R ⇒ ∑ k = 0 ∞ c k A k 绝 对 收 敛   R = lim ⁡ k → ∞ ∣ c k c k + 1 ∣ ρ ( A ) = max ⁡ { ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , . . . , ∣ λ n ∣ } begin{aligned} &exist space||A||<R Rightarrow sum_{k=0}^{infty}c_kA^k绝对收敛 \ & rho(A)<RRightarrow sum_{k=0}^{infty}c_kA^k绝对收敛 end{aligned}\,\ R=lim_{ktoinfty}|frac{c_k}{c_{k+1}}| quad rho(A)=max{|lambda_1|,|lambda_2|,...,|lambda_n|} ​∃ ∣∣A∣∣<R⇒k=0∑∞​ck​Ak绝对收敛ρ(A)<R⇒k=0∑∞​ck​Ak绝对收敛​R=k→∞lim​∣ck+1​ck​​∣ρ(A)=max{∣λ1​∣,∣λ2​∣,...,∣λn​∣}

第4章 矩阵函数

1.Jordan标准型计算矩阵函数

• step1
  $$P^{-1}AP=J$$
• step2
  $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& f(\lambda )=e^{\lambda t}{f}^{\prime }(\lambda )=t{e}^{\lambda t}{f}^{\prime \prime }(\lambda )=t^2{e}^{\lambda t}\\ & f(\lambda )=sin\lambda t{f}^{\prime }(\lambda )=tcos\lambda t{f}^{\prime \prime }(\lambda )=-t^{2}sin\lambda t\end{array} \\ \begin{array}{rl}& J=\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 2& \\ & & 3\end{array}\right)e^{Jt}=\left(\begin{array}{ccc}{e}^t& & \\ & e^{2t}& \\ & & e^{3t}\end{array}\right)sinJt=\left(\begin{array}{ccc}sint& & \\ & sin2t& \\ & & sin3t\end{array}\right)\\ & \\ & J=\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 2& 1\\ & & 2\end{array}\right)e^{Jt}=\left(\begin{array}{ccc}{e}^t& & \\ & e^{2t}& t{e}^{2t}\\ & & e^{2t}\end{array}\right)sinJt=\left(\begin{array}{ccc}sint& & \\ & sin2t& tcos2t\\ & & sin2t\end{array}\right)\\ & \\ & J=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& \\ & 2& 1\\ & & 2\end{array}\right)e^{Jt}=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{2t}& t{e}^{2t}& \frac{1}{2}{t}^2{e}^{2t}\\ & e^{2t}& t{e}^{2t}\\ & & e^{2t}\end{array}\right)sinJt=\left(\begin{array}{ccc}sin2t& tcos2t& -\frac{1}{2}{t}^{2}sin2t\\ & sin2t& tcos2t\\ & & sin2t\end{array}\right)\end{array} \end{gathered}$$
• step3
  $$f(A)=Pf(J)P^{-1}$$

2.待定系数法计算矩阵函数

• step1
  m ( λ ) = ( λ − λ 1 ) j 1 ( λ − λ 2 ) j 2 . . ( λ − λ t ) j t m = ∑ i = 1 t j i Λ A = { ( λ 1 , j 1 ) , ( λ 2 , j 2 ) , . . . , ( λ t , j t ) } g ( λ ) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + . . . + a m − 1 λ m − 1 m(lambda)=(lambda-lambda_1)^{j_1}(lambda-lambda_2)^{j_2}..(lambda-lambda_t)^{j_t} \ m=sum_{i=1}^tj_i quad Lambda_A={(lambda_1, j_1),(lambda_2, j_2),...,(lambda_t, j_t)} \ g(lambda)=a_0+a_1lambda+a_2lambda^2+...+a_{m-1}lambda^{m-1} m(λ)=(λ−λ1​)j1​(λ−λ2​)j2​..(λ−λt​)jt​m=i=1∑t​ji​ΛA​={(λ1​,j1​),(λ2​,j2​),...,(λt​,jt​)}g(λ)=a0​+a1​λ+a2​λ2+...+am−1​λm−1
• step2
  $$f({\Lambda }_A)=g({\Lambda }_A)$$
• step3
  $$f(A)=g(A)$$

3.矩阵函数的微分和积分

5.矩阵微分方程组

最后

以上就是英勇小天鹅最近收集整理的关于矩阵论总结第1章 线性空间和线性变换第2章 矩阵特征值与Jordan标准型第3章 矩阵范数与幂级数第4章 矩阵函数的全部内容，更多相关矩阵论总结第1章内容请搜索靠谱客的其他文章。