任意线段集生成多边形_0.1.1 集合与实数集的完备性

鉴于朋友们普遍都说鄙人的电磁理论专栏涉及到的数学门槛太高，从本篇开始帮助大家补数学。

1 一元函数的微积分学

本章是全书知识体系中数学基础部分的第一章，读者的知识体系至少应满足现行《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》的要求。考虑到后续阅读的需要，本章首先简要介绍朴素集合论并将集合语言作为本书数学部分后续叙述的基本语言（这部分内容与现行普通高中数学教材中集合相关章节大体相当），有相应基础的读者可直接跳过，无相应基础的读者建议认真阅读并充分掌握这部分有关概念。介绍了朴素集合论之后，将简要回顾自然数集、整数集、有理数集的定义，借助戴德金分划理论介绍严格的无理数定义和实数集、讨论实数集的完备性并以此作为施行极限运算的基础。在实数集的完备性基础上，讨论一元函数的极限、连续、微分、积分等重要概念及微分与积分的互逆运算关系和牛顿-莱布尼茨公式。随后简要介绍反常积分（也称瑕积分）和勒贝格积分。

1） 集合与实数集的完备性

朴素集合论由康托尔创立，在此基础上发展起来的公理化集合论已经成为现代数学理论体系中最基础的部分，本节只介绍朴素集合论，对公理化集合论感兴趣的读者可参看[1]23-24。作为现代数学概念和逻辑体系中最基础的集合概念，显然不能在数学领域内通过更基础的概念来定义，朴素集合论对集合概念进行了如下描述：a)集合可以由任意不同事物组成；b)集合由组成它的全体事物唯一确定；c)任何性质都定义了一个具有该性质的事物的集合。组成集合的事物就称为该集合的元素。集合与组成它的事物所具有的某种排列方式或顺序无关，这称为集合中元素的无序性。

集合可以用组成它的全体事物来描述，也可以用定义这些事物的集合时所使用的性质来描述。例如“全体蔬菜构成的集合”也可以描述为“白菜、青菜、菜花、土豆、西红柿、…”（西红柿到底属于水果还是蔬菜尚有争议，读者可自行决断）。某事物

集合与元素的关系只有两种可能（逻辑学上的排中律可以保证这一点）。对于事物

集合

如果集合 这里的“任何一个”以及语义与此类似的“任意”、“所有”、“全部”等词汇，逻辑学中统称为全称量词，数学上用

如果

“不包含任何事物”显然也可以用来确定某个集合，该集合称为空集，记为

若集合

在集合

a)

b)

c)

d)将

这里使用的符号“

读者在中小学阶段应当先后学习了自然数、整数和有理数，这里简要回顾有关概念。朴素的自然数概念是人类在长期的计数过程中建立起来的，鉴于古印度人在符号上的创造性贡献以及阿拉伯人对这些符号的传播（参阅文献[2]），至今绝大多数人依然把自然数（参阅文献[3]）记为0、1、2、3、4、…，相应地由自然数组成的集合称为自然数集，记为

引入负数概念后，从自然数定义了负数-1、-2、…并称为负整数，相应地 将全体自然数和全体负整数组成的集合称为整数集，记为 为了使除法运算（除数不为0）始终有意义，又引入了有理数的概念并 将全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 并且还知道任意非0有理数都可以表示成既约分数

图 1-1-2所示数轴

有理数集中很容易借助构造法证明任意两个有理数之间至少存在1个有理数，再借助递归思想就很容易知道任意两个有理数之间有无穷多个有理数存在，这称为有理数集的稠密性。

中学阶段将无限不循环小数称为无理数并通过“有理数和无理数统称实数”而引入实数概念，显然这一方式在逻辑上并非严密（为什么非得是“无限不循环小数”？）。建立严格的实数理论可以采用两种方式，其一是想办法通过读者们早已熟知的有理数来定义无理数，其二是将有理数和无理数一视同仁并据此建立公理化的实数理论。本节采用比较符合一般认知发展规律的第一种方式，对第二种方式感兴趣读者可参看文献[1]。

首先，给出有理数集的分划的概念。用某种方法将

（有理数如何比较大小是已经严格定义了的，因此这么划分逻辑上没有困难） ，则称集合

考虑这样的问题：既然

接下来考虑另外两种可能性：c) 在

d) 在 有了无理数的这种形式的定义之后，再通过“有理数和无理数统称实数”来引入实数概念，并将全体实数组成的集合称为实数集，记为

可能有读者会考虑，情况d) 是否真实存在？不妨回忆一下中学数学教材中早已介绍的使用反证法证明

通过两个分划定义了实数

实数集更重要的性质，也是极限和微积分运算得以实施的基本前提，称为实数集的完备性，可以通过分划来证明这一性质。类比有理数集的分划，给出实数集的分划概念：用某种方法将

实数集的连续性表明，对于这样的任一分划，一定存在唯一的实数

证明过程采用反证法，首先把

总可以在 于是 矛盾： 同样地，如果假设

这就表明，在

在几何上，实数集的完备性意味着“数轴上的点与实数一一对应，数轴上的所有点一个接一个地对应了某个实数”。

在这样的逻辑体系中，任何实数都是借助有理数集

[1] [俄罗斯]B. A. 卓里奇. 数学分析：第7版，第1卷[M]. 李植，译. 新1版. 北京：高等教育出版社，2019.

[2] [美]V. J. Katz. 数学史通论[M]. 李文林，等译. 2版. 北京：高等教育出版社，2004.

[3] [澳]陶哲轩. 陶哲轩实分析[M]. 王昆扬，译. 北京：人民邮电出版社，2008.

[4] [俄]菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 第1卷：第8版[M]. 杨弢亮，叶彦谦，译. 3版. 北京：高等教育出版社，2006.