第六章 变换与观察 -华科

导学：左手系，右手系。均是四指从x握向y。

但是哪些坐标系是左手，哪些是右手呢？

建模坐标系→(模型变换)→世界坐标系→(视图变换)→观察坐标系→(投影变换)→观察坐标系→(屏幕映射)→屏幕坐标系

几何变换

指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。[以下均以二维为例]

平移

是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（Rigid-body transformation）

比例

对象相对于某一参考系，沿x方向缩放$S_x$，沿y方向缩放$S_y$。

旋转

对象相对于参考系，旋转$\theta$角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新对象的重定位过程。

对称

对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。

错切

也称剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。

齐次坐标

齐次坐标表示即用n+1维向量表示一个n维向量。

n维空间中：

点$[p_1,p_2...p_n]$的齐次坐标表示为$[h{p}_1,h{p}_2...h{p}_n,h],h\ne 0$

n维空间中非齐次坐标表示一个点向量具有n个坐标分量$[p_1,p_2,...p_n]$且唯一。

齐次坐标表示此向量则有n+1个坐标分量且不唯一。

规范化齐次表示即$h=1$。

引入齐次坐标的意义

所有的变换用矩阵$T_{2D}$表示。

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1）当有多个点进行变换时：

$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ ...& & \\ x_n& y_n& 1\end{array}\right]$

2）当多次变换时：

$P^{\prime }=P\cdot T=P\cdot T_1\cdot T_2\cdot \cdot \cdot T_n(n>1)$

三维变换

基本变换同上。当相对于任意点、任意轴做变换时，则需要复合变换。

平错切，比例，缩放等的换步骤分三，如下：

1）将参考点移至坐标原点

2）针对原点进行二维几何变换

3）进行反平移

逆变换

1）平移的逆变换

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2）比例的逆变换

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3）旋转逆变换

旋转角度由$\theta$变为$-\theta$。

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以绕任意轴旋转为例

步骤：

1）把旋转轴起点移到坐标原点上。变换矩阵$T_A$

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2）旋转轴绕至某个坐标轴上

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3）旋转

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4）求1）2）的逆变换。

$T_{RAB}=T_{tA}{T}_{Rx}{T}_{Ry}{T}_{Rz}{T}_{Ry}^{-1}{T}_{Rx}^{-1}{T}_{tA}^{-1}$

观察变换

由世界坐标系到观察坐标系的转换。

坐标原点：观察者所在位置

$z_v$：视点和观察物体上焦点的连线

$y_v$：向上的方向

$x_v$：右手定则确定的方向

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**观察变换的目的：**求世界坐标系中点$Q(x,y,z)$在观察坐标系中的位置。

观察变换的实现

复合变换：

1）平移观察参考点→用户坐标系原点

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2）旋转令观察坐标系与用户坐标系重合。

同上旋转复合变换，但不需要逆变换。

模型变换←(对偶)→观察变换

最后

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