高等几何——讨论交比的实际意义

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我是靠谱客的博主大意蛋挞，最近开发中收集的这篇文章主要介绍高等几何——讨论交比的实际意义，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

1 写在前面的话：

实际上可以看到，射影几何的解释，和高中的向量几何有许多相似之处，他们可能不是建立在直角坐标系上而是选择自己方便的两个向量来解决问题。但另外地，它引入了齐次坐标系。这至少起到了两个作用：

（1）可以表示无穷远点和无穷远直线，建立的射影平面中，通常点和无穷远点地位相等，通常直线和无穷远直线地位相等

（2）这使得点和直线地位相等，相互对偶，由此产生一系列的对偶原则，最经典地，点列和线束，点场和线场。另外，构成的一些基本形组成复杂的几何问题，这使得我们从另一个角度看待中学的几何（不包括解析几何），实在是简单至极。

2 定义：

交比（cross ratio）

射影几何学中基本的射影不变量之一。一般是用共线的四个点来定义的，亦称之为调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。
3 简介：

交比（cross ratio）

射影几何学中基本的射影不变量之一。一般是用共线的四个点来定义的，亦称之为调和比。早在古希腊，数学家和天文学家就注意到这一比值的特性。约公元100年，门内劳斯在《球面学》中用到了球面上的大圆弧相交的一个性质，类似于截线的交比不变性，用圆弧所对角的正弦比值来表示。公元4世纪，帕波斯在《数学汇编》中明确阐述了一种交比的性质：设有四条线交于一点，则从一条线上的一点出发的截线所截点之间的交比相等。到19世纪，施泰纳、施陶特等数学家已将交比作为他们的射影几何理论的基本工具，证明了四个共线点的交比在射影变换下不变的特性。
4 定义详解：

（1）点列交比
点列交比的公理化定义，共线四点A,B,C,D的齐次坐标分别为a,b,a+xb,a+yb,(A≠B),记（AB|CD）表示这四点构成的交比。定义为，（AB|CD）=x/y.点偶AB叫做基点对，点偶CD叫做分点对。

若四点齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(AB|CD)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]。其初等几何意义为（AB|CD）=(AC*BD)/(BC*AD),注意右边的线段长度是有向的。
（2）线束交比：

类比点列交比的定义，我们可以自然的引入线束交比的定义。共点四线a,b,c,d,的齐次坐标为a,b,a+xb,a+yb，(a≠b).记（ab|cd）表示这四线构成的交比。定义为，(ab|cd)=x/y.同样的，我们有：若四线齐次坐标分别为a+x1b,a+x2b,a+x3b,a+x4b,可以证明，(ab|cd)=[(x1-x3)(x2-x4)]/[(x2-x3)(x1-x4)]（1）。引入线束交比的初等几何意义，我们可以从我们熟知的直角坐标系入手。设pi（i=1,，2，3，4）为一线束，记其斜率为ki,倾角为ai,有（1）式可得，（p1p2|p3p4）=[(k1-k3)(k2-k4)]/[(k2-k3)(k1-k4)]=[(tana1-tana3)(tana2-tana4)]/[(tana2-tana3)(tana1-tana4)]=[sin(a3-a1)*sin(a4-a2)][sin(a3-a2)*sin(a4-a1)]=[sin(p1p3)sin(p2p4)]/[sin(p2p3)sin(p1p4)].注：(p1p2)表示p1到p2的角，是有向的。
5 交比重要性质

交比是射影不变量。

证明（初等几何的证明）：令线束O(a,b,c,d)分别交l于ABCD。(AC*BD)/(BC*AD)=(S△OAC*S△OBD)/(S△OBC*S△OBD)=[sin(ac)*sin(bd)]/[sin(bc)*sin(ad)].又考察各对应有向量方向相同，故原式成立。

由此可知，点列的交比与其对应线束的交比是相同的。保持线束不变，取另一直线l'交线束与A'B'C'D'.可视为对l作射影变换，（AB|CD）=（A'B'|C'D'）,由此说明交比是射影不变量。

上述说明在欧式平面内存在诸多漏洞，例如若p1//l,则没有交点。但是，在射影几何完整的公理化体系中有无穷远点和无穷远直线，拓广实数集等无穷元素来“弥补”。而这些元素更是射影几何的精华。

如上是对交比的说明，接近其公理化定义。
6 图解

7 补充：
若交比为-1，则称为调和比。以点列ABCD为例，称此为调和点列，也称点偶AB,CD相互调和共轭（调和分离），或称D为ABC的第四调和点。

同样，我们还可以定义圆锥曲线上四个点的交比。对于一条圆锥曲线C,任取上面一个点P,那么对于C上另外四个点，线束P(A,B,C,D)的交比取值同P的选取无关.于是，这个交比可以定义为圆锥曲线C上四点A,B,C,D的交比，同样可以极为(AB|CD). 反之，我们也可以采用这里的交比不变性作为圆锥曲线C的定义，也就是给定平面四个点A,B,C,D,其中任意三点不共线，那么使得线束P(A,B,C,D)的交比取常数的P点轨迹是一条圆锥曲线。

8 相关链接：

参考百度关于交比的解释：点击打开链接