DFT与DTFT的区别？

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我是靠谱客的博主拉长母鸡，最近开发中收集的这篇文章主要介绍DFT与DTFT的区别？，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

首先给出总结：DTFT是将原信号在时域进行离散化，而DFT则是将DTFT在频域进行离散化。这就相当于DFT将原信号在时域和频域上都进行了离散。

对于DFT而言，它是有限长信号的傅立叶表示；而DTFT则是无限长信号的傅立叶表示。DFT的定义为：

$x\left[k\right]=\sum_{n=0}^{n-1}{x\left[n\right]e^{-j{\frac{2\pi}{n}}kn}} ,0\le k \le n-1$

无论N如何变化，DFT的谐波频率始终在区间[0，2pi]之内：

$0\le \omega_k=\frac{2\pi}{n}k < 2\pi$

当N趋向于无穷，DFT对于区间[0，2pi]的划分就会越来越细致，Wk从离散的值最终变成整个实数区间，(相当于往区间[0，2pi]中不断插值)，或者说DFT是DTFT在 $\omega =\frac{2\pi}{n}k$ 处的采样。

DTFT的定义为：

$x\left(\omega \right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left[n\right]e^{-j\omega n}} ,0\le \omega < 2\pi$

它是N趋向于无穷时DFT的极限，DTFT的概念性更强，它是数学家的杰作，主要用于理论分析；而DFT则是工程师的杰作，可以应用于实践，DFT的出现有助于计算机对信号的分析。

其实还可以从DTFS（离散时间傅立叶级数）的角度理解DFT：考虑一个离散时间信号，把它截断以后，再按截断的信号进行周期延拓，这就构造了一个以截断信号为单个周期的离散时间周期信号。对于周期信号，我们可以求取它的离散傅立叶级数，这些傅立叶级数的系数就是DFT在频域上的系数。从名字上也可以看出来，DTFT是离散时间傅立叶变换，仅仅是时间上离散化了；DFT是离散傅立叶变换，在时域和频域上都离散了。