Harmonic Number (II) 谐波级次

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我是靠谱客的博主会撒娇白羊，最近开发中收集的这篇文章主要介绍Harmonic Number (II) 谐波级次，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

I was trying to solve problem '1234 - Harmonic Number', I wrote the following code

long long H( int n ) {
  long long res = 0;
  for( int i = 1; i <= n; i++ )
res = res + n / i;
  return res;
}

Yes, my error was that I was using the integer divisions only. However, you are given n, you have to find H(n) as in my code.

Input

Input starts with an integer T (≤ 1000), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n < 231).

Output

For each case, print the case number and H(n) calculated by the code.

Sample Input

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2147483647

Sample Output

Case 1: 1

Case 2: 3

Case 3: 5

Case 4: 8

Case 5: 10

Case 6: 14

Case 7: 16

Case 8: 20

Case 9: 23

Case 10: 27

Case 11: 46475828386

题意：

让我们求f（n）=n/1+n/2+n/3+......+n/n；同时注意n/i取整；

第一种：

首先我们先看数据的范围，n (1 ≤ n < 2 31)，数据范围太大，如果我们按照题目中的代码直接暴力肯定超时，那么，我们就要优化代码；

f=n/x这个函数关于y = x 对称对称点刚好是sqrt(n)，于是就简单了直接求sum+n/i (i*i<n && i >=1)，然后乘以2，再减去i*i即可。

当n==10时，m=sqrt(10)==13，f(10)==（10+5+3）*2-3*3=27；

关于m对称，左右相差m*m，左边10+5+3=18，右边2+2+1+1+1+1+1=9，和左边相差3*3=9，

故，这道题我们就可以简化了；

公式：

m=sqrt（n）；

f（n）=（n/1+n/2+n/3+......+n/k）*2-m*m；（n/k<=m）;

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
int main()
{
    int t,k=1;
    ll n;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=0; i<t; i++)
    {
        scanf("%lld",&n);
        ll res=0;
        int m=sqrt(n);
        for(int i=1; i<=m; i++)
            res+=n/i;
        res*=2;             ///找规律
        res-=m*m;
        printf("Case %d: %lldn",k++,res);
    }
    return 0;
}

第二种：

假设 tmp 是 n/i 的值，当n == 10的时候（取具体值）当 tmp = 1 时，个数是10/1 - 10/2 == 5个
当 tmp = 2 时，个数是10/2 - 10/3 == 2个

当 tmp = 3 时，个数是10/3 - 10/4 == 1个 ………… 当 tmp = 10时，个数是10/10 - 10/11 == 1个所以我们发现有个规律了，当tmp == i 的时候，我们要求的个数就是 10/i - 10/(i+1)，然后我们前1 — sqrt(n)个数的数值还是比较大的，但是数据范围变小了暴力可以求出来，剩下的 sqrt(n)+1 — n个数中数据范围还是比较大，但是 n/i 的数据范围介于 1 - sqrt(n)之间，所以用我们找出的规律可以求出来，我们只需要两个for循环就搞定了，时间复杂度 O(sqrt(n)),

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll h(ll n)
{
    ll res=0;
    int m=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        res+=n/i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        res+=(n/i-n/(i+1))*i;
    if(m==n/m)
        res-=m;
    return res;
}
int main()
{
    int t,k=1;
    ll n;
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%lld",&n);
        printf("Case %d: %lldn",k++,h(n));
    }
    return 0;
}