SPFA算法

引子

在很早很早以前，有个IOer兼BLOGer挖了一个坑：有一类问题，它要求我们从图上某点出发，走到另一点，求最短路径。
long long ago;我们学习了三种求最短路径的方法：

1. Floyd算法
2. Dijkstra算法
3. Bellman-Ford算法

（如果不了解，可以点开上面的超链接看看（尽管我写的不好））
Floyd本质上是动态规划，Dijkstra算法本质上是贪心或者bfs，而Bellman-Ford的思路是枚举边，花了很多时间在没用的边上。能不能优化一下呢？
这就引出了我们今天的内容，SPFA算法。

算法的提出和背景

（虽然了解这些东西不会提高分数，但是可以学习计算机学家们的严谨精神,至少可以装装13）
SPFA的全称是Shortest Path Faster Algorithm，意思是更快的最短路径算法。由西南交通大学段凡丁于1994年提出。
看看SPFA的名字，我们看到它口气真大，居然说自己更快，我们来看看它为什么更快。

算法的原理

在图G(V,E)（V为点集，E为边集）中，先用一个数组Dis[i]表示源点s到顶点i的最短路径经。初始化Dis清为∞，Dis[s]=0。
算法大致流程就是：

1. 新建一个队列Q，将s入队
2. 取队首元素，松弛它的临界点，如果松弛成功，则该临界点入队。（松弛操作见Bellman-Ford算法）
3. 当前队首元素出队。
4. 如果队空，则找到最短路径，否则重复操作2。

算法正确性证明于时间复杂度分析

这是它的正确性的证明：
（摘自百度百科）

每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的Dis值就是对应结点的最短路径值。

它的时间复杂度号称是O(me)，m是平均每点入队次数（注意，每点可能不止入队一次，可能经过松弛的点又会入队），有人证明说m一般不会超过2，但这个证明是十分不严谨的，并且SPFA算法十分不稳定，因此国际上一般不承认SPFA算法。国内有些老师也不会教。

负环判断

如果一个点入队次数超过n次，那么图有负环。

代码实现（伪代码）

int map[MAX][MAX];  
int dis[MAX];  //MAX为总点数
bool vis[MAX];  
int num[MAX];//记录每个结点入队的次数  
struct cmp  
{  
     bool operator()(int x,int y)  
     {  
          return x>y;  
     }  
};  
bool SPFA(int s0,int n)  
{  
     priority_queue<int,vector<int>,cmp> q;  
     memset(vis,false,sizeof(vis));  
     memset(num,0,sizeof(num));  
     for(int i=0;i<n;i++)  
          dis[i] = INF;  
     dis[s0] = 0;  
     q.push(s0);  
     vis[s0] = true;  
     num[s0]++;  
     while(!q.empty())  
     {  
          int p = q.top();  
          q.pop();  
          for(int i=0;i<n;i++)  
          {  
               if(dis[p]+map[p][i]<dis[i])  
               {  
                    dis[i] = dis[p]+map[p][i];  
                    if(!vis[i])  
                    {  
                         q.push(i);  
                         num[i]++;  
                         if(num[i]>n)//存在负环  
                         {  
                              return false;  
                         }  
                         vis[i]=true;  
                    }  
               }  
          }  
          vis[p] = false;  
     }  
     return true;  
}  

代码转自：http://blog.csdn.net/runninghui/article/details/8895586

最后

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