滤波器设计之巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器简介

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概述

滤波器设计之巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器简介
- 巴特沃斯滤波器设计步骤
- 巴特沃斯低通滤波器设计实例
- 注意事项

巴特沃斯滤波器简介

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：
$frac{1}{1+C^{2}lambda ^{2N}}$
其中C为一常数参数，N为滤波器阶数， $λ$ 为归一化低通截止频率。
$λ = Ω Ω p lambda = frac{Omega }{Omega{p}}$

巴特沃斯滤波器设计步骤

设计巴特沃斯低通滤波器指标
$Omega_{p}$ ：通带截止频率；
$alpha_{p}$ ：通带最小衰减，单位dB；
$Omega_{s}$ ：阻带开始频率；
$alpha_{s}$ ：阻带最大衰减，单位dB；
计算归一化频率
$lambda_{p} = frac{Omega_{p}}{Omega _{p}} = 1 ,lambda _{s}= frac{Omega _{s}}{Omega _{p}}$
当 $α = 3 d B$ 时， $_{p}=Omega _{C}$ 为通常意义上的截止频率。
根据设计要求求出阶次N和参数C
$C^{2}=10^{frac{alpha _{p}}{10}}-1$
$_{s})}$ 其中
$a=sqrt{frac{10^{frac{alpha _{s}}{10}}-1}{10^{frac{alpha _{p}}{10}}-1}}$
注意当 $_{p} = 3dB$ 时 C=1
利用N查表
通过N值查表获得归一化巴特沃斯低通滤波器的系统函数；
变换成需要的滤波器
低通滤波器： $_{p}})$

巴特沃斯低通滤波器设计实例

设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率 $f_{p} = 5000Hz$ ,通带最大衰减 $_{p}=3dB$ ，阻带起始频率 $f_{s} = 10000Hz$ ，阻带最小衰减 $_{s}=30dB$ 。

解：已知 $_{p}=2pi f_{p} = 2pi times 5000,alpha _{p} = 3dB,Omega _{s}=2pi f_{s}=2pi times 10000,alpha _{s} = 30dB$

计算归一化频率
$_{p}=frac{Omega _{p}}{Omega _{p}}=1,lambda _{s}=frac{Omega _{s}}{Omega _{p}}=2$
计算巴特沃斯滤波器阶次N和参数C
$C^{2}=10^{frac{alpha _{P}}{10}}-1=10^{0.3}-1=1$
$a=sqrt{frac{10^{frac{alpha _{s}}{10}}-1}{10^{frac{alpha _{p}}{10}}-1}}=sqrt{frac{10^{3}-1}{10^{0.3}-1}}=31.637$
$_{s})}=frac{lg(31.637)}{lg(2)}=4.982$
所以N选择5；
利用N查表获得归一化巴特沃斯低通滤波器的系统函数：
$H(p)=frac{1}{p^{5}+3.2361p^{4}+5.2361p^{3}+5.2361p^{2}+3.2361p+1}$
4.去掉归一化
$_{p}}}{rightarrow}$
$=frac{10^{20}pi ^{5}}{s^{5}+3.236times 10^{4}pi s^{4}+5.236times 10^{8}pi ^{2}s^{3}+5.236times 10^{12}pi ^{3}s^{2}+3.236times 10^{16}pi ^{4}s+10^{20}pi ^{5}}$

注意事项

$Omega_{p}$ ：通带截止频率；
$alpha_{p}$ ：通带最小衰减，单位dB；
$Omega_{s}$ ：阻带开始频率；
$alpha_{s}$ ：阻带最大衰减，单位dB；
这四个变量中，衰减其实真实值是负数，例如-3dB，-20dB，但是在计算之中已经将符号考虑在内，所以不用代符号计算。