3D数学---矩阵的几何意义：变换

什么是变换

在三位渲染中，矩阵是可视化的，这个可视化的结果就是变换。 具体一下，变换指的是我们把一些数据，如点，方向矢量甚至是颜色等， 通过某种方式进行转换的过程。

线性变换

线性变换指的是那些可以保留矢量加和标量乘的变换。用数学公式来表示这两个条件就是：f(x) + f(y) = f(x+y) ， kf(x) = f(kx)

例：f(x)=2x可以表示一个大小为2的统一缩放，即经过变换后矢量x的模将被放大两倍。可以发现，f(x) = 2x 满足上方两个条件

对于线性变换来说，如果我们要对一个三维的矢量进行变换，那么仅用3 X 3的矩阵就可以表示所有的线性变换。但不能表示平移变换。

仿射变换

仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型，仿射变换可以用一个4 X 4的矩阵来表示，为此，我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间。

常见的变换种类和它们的特性

齐次坐标

由于3x3的矩阵不能表示平移操作，我们就把其扩展到了4x4的矩阵。为此，我们还需要把原来的三维矢量转换成四维矢量，也就是我们说的齐次坐标。

齐次坐标是一个四维矢量。对于一个点，从三维坐标转换成齐次坐标是把其w分量设为1，而对于方向矢量来说，需要把其w分量设置为0。(这样的设置会导致，当对一个4x4的矩阵进行变换时，平移，旋转，缩放都会施加于该点。但是如果是用于变换一个方向矢量，平移的效果就会被忽略。)

分解基础变换矩阵

我们已经知道可以用一个4x4的矩阵来表示平移旋转和缩放。我们把表示纯平移，纯旋转，纯缩放的变换矩阵叫做基础变换矩阵。这些矩阵有一些共同点，我们可以把一个基础变换矩阵分解成4个部分

其中，左上角的矩阵M_3x3用于表示旋转和缩放，t_3x1用于表示平移，O_1x3是零矩阵，即O_1x3=[0 0 0]，右下角的元素就是标量1

平移矩阵

我们可以使用矩阵乘法来表示对一个点进行平移变换：

不难看出这个矩阵有了平移的效果，在3D中可视化的效果是，把点(x,y,z)在空间中平移了(t_x，t_y，t_z)个单位

平移变换不会对方向矢量产生任何影响：(矢量没有位置属性，可以位于空间任意一点)

缩放矩阵

我们可以使用矩阵乘法来表示一个缩放变换：

对方向矢量可以使用同样的矩阵进行缩放：

如果缩放系数k_x=k_y=k_z，我们把这样的缩放叫做统一缩放，否则称为非统一缩放。
外观上看，统一缩放是扩大整个模型，非统一缩放会拉伸或挤压模型。
统一缩放不会改变角度和比例信息，而非统一缩放会改变角度和比例信息。
例如：在对法线进行变换时，如果存在非统一缩放，直接使用用于变换顶点的变换矩阵的话，就会得到错误的结果

缩放矩阵一般不是正交矩阵。
上面的矩阵只适用于沿坐标轴方向进行缩放。如果我们希望在任意方向进行缩放，就需要使用复合变换。 (其中一种方法的主要思想是：先将缩放轴变换成标准坐标轴，然后进行沿坐标轴的缩放，再使用逆变换得到原来的缩放轴朝向)

旋转矩阵

旋转操作需要指定一个旋转轴，这个旋转轴不一定是空间中的坐标轴。
这里我们拿x,y,z轴举例：
比如我们需要把点绕着x轴旋转θ度，可以使用下面矩阵：

绕y轴旋转也是类似的：

最后，绕z轴的旋转：

旋转矩阵的逆矩阵是旋转相反角度得到的变换矩阵。旋转矩阵是正交矩阵，而且多个旋转矩阵之间的串联同样是正交的。

复合变换

我们可以把平移，旋转，缩放组合起来，来形成一个复杂的变换过程。
例如：可以对一个模型先进行(2,2,2)的缩放，再绕y轴旋转30°，最后向z轴平移4个单位。
复合变换可以通过矩阵的串联来实现，上面的变换过程可以使用下面公式计算：
p_new = M_translationM_rotationM_scaleθp_old
（上面使用的是列矩阵，因此上方公式的阅读顺序是从右到左，且大多数情况下，我们约定俗成的顺序就是先缩放，再旋转，再平移）

同时，我们也要注意旋转时的变换顺序。比如我们同时要绕三个轴进行旋转，那么我们是先绕x轴，再绕y轴，最后z轴旋转还是按照其他的旋转顺序呢？在Unity中，这个顺序是zxy，这在旋转相关的API文档中有说明。
例：当给定（θ_x，θ_y，θ_z）这样的旋转角度时，得到的组合旋转变换矩阵是：

Note:

最后

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