矩阵乘法的几何意义

最近开始复习线代

线代真的该画画图

不要只是背公式算

可能太高维的不容易想象 但是低维画画图能加深理解

对了 要将矩阵看作变换

2*3矩阵a  

1   -1     2

0    2    -1

三个基向量即图中蓝线

俯视

（1,0）（-1,2）（2,-1）

分别是矩阵a的基向量在标准直角坐标系中坐标

即这个变换表示：原x轴单位向量1,0,0，对应到一个二维向量1,0

原y轴单位向量0,1,0，对应二维向量-1,2，这个“对应”的意思是，如果把这个变换附加到某个向量上，则将该向量所在标准直角坐标系的基向量0,1,0对应到-1,2，可以看为将基向量终点变形拉伸到-1,2，例如某向量在标准直角坐标系中表示为0,2,0，施加该变换后在标准直角坐标系中为-2,4

原z轴单位向量0,0,1，对应二维向量2,-1，关键地方在于要将一个不属于该维度的方向变换到该空间，而且这个变换不是投影，理解为函数式的对应关系。例如某向量0,0,2，施加该变换后为4,-2

然后就是变换的叠加

矩阵b  

1    2

0    1

-1    1

即基向量在标准直角坐标系中表示为 A  1,0,-1  ；  B  2,1,1

分别对矩阵b的基向量施加矩阵a变换

如果显得麻烦就对原基向量再次拆分  1,0,-1 → 1,0,0  + 0,0,-1 依次变换叠加

A 1,0,-1 →  -1,1  ； B  2,1,1 →   3,1  

倒回去看看向量D和向量C

D（-1,1） C（3,1）

这就是矩阵乘法ab的几何意义

另外，举2x3矩阵和3x2矩阵的乘法例子是为了说明以下几个问题

1，  为什么只有第一个矩阵列数等于第二个矩阵行数，ab才有意义

因为ab运算含义是将b做出a的变换，即将矩阵b空间里的向量，全部做a变换，最终全部容纳到矩阵a的向量空间内，可以重叠，重叠即降维（针对线性空间讲，非线性变换能扭曲重叠）其中矩阵的列数代表基向量个数，行数代表的意义是原向量空间的维度数，例如b有两列三行，表明基向量有两个，向量维度为3，需要将这三个维度全部做变换，至于做变换后对应空间有几个维度无所谓，因为能重叠，这对应的就是a的行数。A的列数表明a有三个基向量，基向量个数对应的就是指需要从b空间接受几个维度的信息，矩阵乘法为什么要求第一个矩阵列数和第二个矩阵行数相同才有意义？因为二者一致就意味着这个变换过程中信息无遗漏，和投影最大的区别就是投影会丢失信息。

2，  对比3x2矩阵和2x3矩阵的乘法

如图，蓝色向量分别为1,0  -1,2  2,-1

为矩阵a  

1    -1    2

0    2    -1

的三个基向量，注意到一点，他有三个基向量，但是只有两个维度，也就是说一个平面就能放下他的向量空间，如图很明显

问题在于将两个维度的矩阵a做矩阵b变换，b有三个维度

这就是之前所说和投影的区别，投影会丢失信息，往往要用投影还原图像时还需要加入其它信息，比如另一个方向的投影

但是这个不需要，因为他的信息是完整的，即矩阵a虽然只有两个维度，但是包含了三个基向量，这三个基向量可以在三维中展开（这种展开升维只是用更高维的视角去看的时候，他的坐标需要多加一个维度表示，但是实际上并没有添加信息，如上图，原本可以用二维平面表示矩阵a空间，用xy坐标对就能全部表示，经过矩阵b变换，b的基向量用红色表示，原a基向量变成黑色向量，它虽然在标准直角坐标系中每个点需要xyz三个坐标表示，但实际上其向量空间仍然是一个二维平面，只是在三维空间中被倾斜放置了）

附黑色向量坐标 （有一个和红色的重叠了）

即ba乘法运算后结果：

1    3    0

0    2    1

-1    3    -3

最后

以上就是害怕胡萝卜为你收集整理的矩阵乘法的几何意义的全部内容，希望文章能够帮你解决矩阵乘法的几何意义所遇到的程序开发问题。

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