J. Xingqiu‘s Joke（2021ICPC-南京）（记忆化搜索 + 数论）

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我是靠谱客的博主活泼白昼，这篇文章主要介绍J. Xingqiu‘s Joke（2021ICPC-南京）（记忆化搜索 + 数论），现在分享给大家，希望可以做个参考。

The 2021 ICPC Asia Nanjing Regional Contest

Problem

给出两个long long范围内的整数a和b（不相等），每次操作可以对a和b进行以下三个操作之一

a = a + 1, b = b + 1
a = a - 1, b = b - 1
a % d = 0 且 b % d = 0 且 d 是质数， a = a / d, b = b / d

问：最小需要多少次操作才可将 a 或 b 变为 1

Input

5
4 7
9 8
32 84
11 35
2 1

Output

2
7
5
4
0

Solution

分析发现，只通过前两个操作，c（c = b - a）是不会改变的，而且a和b的公共质因数一定是c的质因数
（假设a和b的公共质因数为g）。
所以，当我们想要进行第三个操作时，我们可以通过前两个操作来到最近的 (a / g, b / g)
观察发现，当 b - a = 1时，无论怎么进行操作，gcd（a， b） $\equiv$ 1,所以最少的操作次数是 a - 1（遇到可直接剪枝）
然后就是要注意代码的一些细节问题：
- 看完以上几点后应该感觉到是搜索+剪枝了，但需要进行记忆化加速搜索过程
- 对于如何记忆化，我觉得是本题的重点（具体如何记忆化看下面代码实现）
- 可以将（a， b）或者是 (a, b - a) 存为 pair对，作为hash_map的第一维。
- 但由于pair不能作为hash_map的第一维，所以需要自己写一个简单的hash函数：
  可将（a， b）哈希为一个数来存。例如：x = a $\times$ （一个较大的数） + b,然后将 x 作为hash_map的第一维

Code

复制代码

int c[1001], m;
int ans = inf;
unordered_map<ll, int>mp;

ll h(int a, int b)//哈希函数
{
	return a * 1e9 + b;
}

//本题不能单单将a或b当作map的第一维，
//因为可能会出现a相同但b不相同的情况。
//所以可能返回错误的答案，
//因此需要将（a， b）或者（a， b - a）作为哈希map的第一维
int dfs(int a, int b)
{
	//记忆化搜索
	if (mp[h(a, b)]) return mp[h(a, b)];

//剪枝
	if (b - a == 1) return a - 1;
	if (a == 1) return 0;

int ans = a - 1;//最差的情况是直接把a减到1
	for (int i = 0; i < m; i++)
		if ((b - a) % c[i] == 0)//此处要注意判断条件
		{
			int res = a % c[i];
			ans = min({ ans, 
				res + 1 + dfs(a / c[i], b / c[i]),
				c[i] - res + 1 + dfs(a / c[i] + 1, b / c[i] + 1) });
		}

return mp[h(a, b)] = ans;
}

int main()
{
	IOS;
	int T; cin >> T;
	while (T--)
	{
		mp.clear();//可删可不删。本以为不删会速度快，没想到删掉速度快，且memory小了100倍。。可能是hash的数据多了，查找的慢了吧
		int a, b; cin >> a >> b;
		if (a > b) swap(a, b);

int d = b - a;
		m = 0;
		for (int i = 2; i <= sqrt(d); i++)
		{
			if (d % i == 0)
			{
				c[m++] = i;
				while (d % i == 0) d /= i;
			}
		}
		if (d > 1) c[m++] = d;

cout << dfs(a, b) << endl;
	}

return 0;
}

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int c[1001], m;
int ans = inf;
unordered_map<ll, int>mp;


ll h(int a, int b)//哈希函数
{
	return a * 1e9 + b;
}

//本题不能单单将a或b当作map的第一维，
//因为可能会出现a相同但b不相同的情况。
//所以可能返回错误的答案，
//因此需要将（a， b）或者（a， b - a）作为哈希map的第一维
int dfs(int a, int b)
{
	//记忆化搜索
	if (mp[h(a, b)]) return mp[h(a, b)];

	//剪枝
	if (b - a == 1) return a - 1;
	if (a == 1) return 0;

	int ans = a - 1;//最差的情况是直接把a减到1
	for (int i = 0; i < m; i++)
		if ((b - a) % c[i] == 0)//此处要注意判断条件
		{
			int res = a % c[i];
			ans = min({ ans, 
				res + 1 + dfs(a / c[i], b / c[i]),
				c[i] - res + 1 + dfs(a / c[i] + 1, b / c[i] + 1) });
		}

	return mp[h(a, b)] = ans;
}

int main()
{
	IOS;
	int T; cin >> T;
	while (T--)
	{
		mp.clear();//可删可不删。本以为不删会速度快，没想到删掉速度快，且memory小了100倍。。可能是hash的数据多了，查找的慢了吧
		int a, b; cin >> a >> b;
		if (a > b) swap(a, b);

		int d = b - a;
		m = 0;
		for (int i = 2; i <= sqrt(d); i++)
		{
			if (d % i == 0)
			{
				c[m++] = i;
				while (d % i == 0) d /= i;
			}
		}
		if (d > 1) c[m++] = d;

		cout << dfs(a, b) << endl;
	}

	return 0;
}