2020ICPC济南A Matrix Equation

题目链接

题目：

定义两种矩阵运算：
（1）$Z=X\times Y$，即$Z_{i,j}=({\sum }_{k=1}^N{X}_{i,k}{Y}_{k,j})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2$
（2）$Z=X\odot Y$，即$Z_{i,j}=X_{i,j}Yi,j$
给定两个$n\times n$的01矩阵$A,B$，问有多少个$n\times n$的01矩阵$C$满足$A\times C=A\odot C$。
( 1 ≤ n ≤ 200 , A i , j , B i , j ∈ { 0 , 1 } ) (1 le n le 200,A_{i,j},B_{i,j} in {0,1}) (1≤n≤200,Ai,j​,Bi,j​∈{0,1})

题解：

首先可以发现$C$的列与列之间是没有关系的，所以我们可以单独地求解每一列的数量，然后用乘法原理合并答案。将$C$的第$k$列看成$n$维向量，我们就可以得到以下方程组
$$(A_{i,1}{C}_{1,k}+A_{i,2}{C}_{2,k}+...+A_{i,n}{C}_{n,k})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=B_{i,k}{C}_{i,k},1\le i\le n$$
因为矩阵$A$是01矩阵，又是模2意义下的加法，即异或运算，所以可以把上述方程组变成异或方程组。如
$$A_{1,\bullet }=(1,0,1,1),C_{\bullet ,k}=(x1,x2,x3,x4{)}^T,B_{1,k}=1$$，
那么可以得到
$$\begin{gathered} (x1+x3+x4)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2=x1 \\ x1\oplus x3\oplus x4=x1 \\ x3\oplus x4=0 \end{gathered}$$
所以最后可以得到一个齐次的异或方程组，那么问题就转化为了这个方程组有多少个解，那么可以求出异或空间里系数矩阵的秩$r_k$，那么自由元的数量为$n-r_k$，因为取值只有0,1，所以解的个数为$2^{n-r_k}$，那么最后的答案就是${\prod }_{k=1}^n{2}^{n-r_k}$。关于怎么求秩，可以用异或高斯消元，也可以通过将矩阵的行向量插入线性基得到极大线性无关组来求，两种方法的复杂度都是$O(n^4)$的，过不了这道题，这里考虑用$bitset$来存储行向量进行优化，复杂度降为$O(n^4/\omega )$。（用高斯消元求秩的时候有个坑点，行和列要用两个指针指，因为遇到一个自由元后，行指针不变，列指针要右移一个位置）

复杂度：$O(n^4/\omega )$

代码：

1、高斯消元版

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<string>
#include<bitset>
#include<sstream>
#include<ctime>
//#include<chrono>
//#include<random>
//#include<unordered_map>
using namespace std;

#define ll long long
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const int mod=998244353;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=205;
ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
bitset<maxn>a[maxn];
int ans[maxn];
int A[maxn][maxn],B[maxn][maxn];
int guass(int n){
	int res=0;
	for(int i=1,p=1;i<=n;i++){
		int m=p;
		if(!a[m][i]){
			for(int j=p+1;j<=n;j++){
				if(a[j][i]){
					m=j;
					break;
				}
			}
		}
		if(!a[m][i]){
			continue;
		}
		if(p!=m)swap(a[p],a[m]);
		for(int j=p+1;j<=n;j++){
			if(a[j][i]){
				a[j]^=a[p];
			}
		}
		++res;
		p++;
	}
	return res;
}
int qpow(int a,int p){
	int res=1;
	while(p){
		if(p&1)res=1ll*res*a%mod;
		a=1ll*a*a%mod;
		p>>=1;
	}
	return res;
}
int main(void){
	// freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&A[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&B[i][j]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				a[i][j]=A[i][j];
			}
			if(B[i][k])a[i][i]=a[i][i]^1;
		}
		ans+=n-guass(n);
	}
	printf("%dn",qpow(2,ans));
	return 0;
}

2、线性基版（比赛中写的，码风不大对劲）

#include<bits/stdc++.h>
#include<bitset>
using namespace std;
const int maxn=205;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
struct L{
	bitset<210>a[210];
	int maxl;
	void init(int n){
		maxl=n;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			a[i].reset();
		}
	}
	int ins(bitset<210>t){
		for(int i=maxl;i>=0;i--){
			if(t[i]==0)continue;
			if(a[i].any())t^=a[i];
			else{
				for(int j=0;j<i;j++){
					if(t[j]==1)t^=a[j];
				}
				for(int j=i+1;j<=maxl;j++){
					if(a[j][i])a[j]^=t;
				}
				a[i]=t;
				break;
			}
		}
		if(t.any())return 1;
		else return 0;
	}
}L;
ll qpow(ll a,ll p){
	ll res=1;
	while(p){
		if(p&1)res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		p>>=1;
	}
	return res;
}
int n;
int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn];
void solve()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&b[i][j]);
		}
	}
	bitset<210>bt;
	ll ans=1;
	for(int k=1;k<=n;k++){
		L.init(n);
		int cnt=n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			bt.reset();
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(a[i][j])bt.set(j-1);
			}
			if(b[i][k])bt.flip(i-1);
			cnt-=L.ins(bt);
		}
		ans*=qpow(2,cnt);
		ans%=mod;
	}
	printf("%lldn",ans%mod);
}

int main()
{
	int T=1;

	// scanf("%d",&T);
	for(int t=1;t<=T;t++)
	{
		solve();
	}

	return 0;
}

最后

以上就是听话盼望为你收集整理的2020ICPC济南A Matrix Equation的全部内容，希望文章能够帮你解决2020ICPC济南A Matrix Equation所遇到的程序开发问题。

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