二分图之匈牙利算法

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我是靠谱客的博主直率棒棒糖，最近开发中收集的这篇文章主要介绍二分图之匈牙利算法，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

主要内容：二分图的最大匹配，完美匹配，最小路径覆盖数，匈牙利算法
二分图相关概念

1.二分图：把一个图的顶点划分为两个不相交集U和V，使每一条边都分别连接U、V中的顶点。
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。即是说，一个图要么没有环，要么有偶数边的环。所以二分图的另一个定义为：不含有「含奇数条边的环」的图。
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2.匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
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其中红线为匹配边，匹配边链接的连个点就是匹配点

3.最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。最大匹配的匹配边的数目即为最大匹配数。

4.完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。完美匹配一定是最大匹配，但并非每个图都存在完美匹配。

5.最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择。最小覆盖要求用最少的点（ＸＸ集合或ＹＹ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

6.最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。

7.最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径，路径长可以为 0（即单个点）。也就是说用尽量少的不相交简单路径覆盖DAG的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i′,如果有边i→j，则在二分图中引入边i→j′，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。

从上述概念描述中可以得到三个定理:

定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）

定理2：最大匹配数 = 最大独立数

定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

匈牙利算法
1.概述：求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法
用白话说：就是从二分图中找出一条路径来，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现。找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。

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2.交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

3.增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出)

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广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

4.匈牙利算法核心：不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

5.匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。

例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

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这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

BFS&DFS代码实现
匈牙利算法的要点如下：

1.从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
__ 1.如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
__ 2.如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈_____牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。

2.由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

DFS_CODE

const int MAX=1010;
int k,n,m,ma[MAX][MAX],vis[MAX],match[MAX];
//k,n,m分别为边的个数，集合U的个数，集合V的个数。ma[][]记录边联通的边，vis记录访问过的点，match记录已经匹配的点
bool DFS(const int &p){
for(int i=1;i<=m;i++){
if(!vis[i] && ma[p][i]){
vis[i]=1;
if(!match[i]||DFS(match[i])) //判断是否是增广路
{
match[i]=p;
//更新路径//也是取反的过程
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
//....do something //初始化//用邻接矩阵记录边
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
//刷新访问
if(DFS(i))
//如果找到增广路，所匹配的边数加一
ans++;
}
//....do something
return 0;
}