完全背包优化前

      「完全背包」区别于「01背包」问题的地方是在：完全背包中每一件物品都可以重复使用，而「01背包」每一件物品只可以使用一次；

        所以在做完全背包问题的时候，唯一不同的地方就是，判断最大价值的时候，多了一重循环——容纳第i个物品 k 次，且总体积不超过背包。（但是三重循环，1000就寄了，下面附上代码）

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 5, M = 1e7 + 5;
typedef long long LL;
int n, m;
int v[N], w[N];
LL f[M];
int main() {
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
//01背包问题
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= m; j++)
for(int k = 1; k * v[i] <= j; k++)
f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}

完全背包优化后  与  01背包一维状态

列举内部关系（完全背包）：

f[i , j ] = max( f[ i - 1, j ] , f[ i - 1 , j - v ] + w ,   f[ i - 1 , j - 2 * v ] + 2 * w  , f[ i - 1,j - 3 * v ] + 3 * w , .....)
f[i , j - v] = max(            f[ i - 1,j - v]   ,  f[ i - 1 , j - 2 * v ] + w , f[ i - 1 , j - 3 * v ] + 2 * w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[ i ][ j ] = max(f[ i , j - v ] + w , f[ i - 1 ][ j ]) 

注意：j 要从 v[ i ] 开始（这也是其区别与01背包问题的地方）

 j从v[ i ] 开始递增，还是从 m 开始递减是一个很重要的问题：

完全背包：

如果 j 从 v[ i ] 开始递增到 m：(完全背包问题)

     f[ v[ i ] ] =max( f[ 0 ] + w[ i ], f[ v [ i ] ] );

                 ...

     f[ m ] =max( f[ m - v[ i ] ] + w[ i ], f[ m ]); 

注意：这种 j 每加 1， 当前f[ j ] 表示的是上一个的最大值，再加上一个 w[ i ],

到最后，结果就是加了 （m - v[ i ]）/   v[ i ]  个w[ i ]; 

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 5, M = 1e7 + 5;
typedef long long LL;
int n, m;
int v[N], w[N];
LL f[M];
int main() {
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
//完全背包问题
for(int i = 1; i <= n; i++)
//从 v[i]往后枚举的话， 与从m往前枚举到v[i]，最大的不同是f[j-v[i] 是0 还是有值！
for(int j = v[i]; j <= m; j++)
//枚举顺序不同
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}

01背包一维状态：

如果 j 从 m 开始递减到v[ i ]的话：（01背包问题 一维）

    f[ m ] = max( f[ m - v[ i ] ] + w[ i ] , f[ m ])

             ...

   f[ v [ i ] ] = max( f[ 0 ] + w[ i ], f[ v [ i ] ] )

注意：这种每次都是前一个 + w[ i ] , 所以不会出现重复累加w[ i ],其最终结果就是01背包问题的答案；

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 5, M = 1e7 + 5;
typedef long long LL;
int n, m;
int v[N], w[N];
LL f[M];
int main() {
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
//01背包问题
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}

最后

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