常用算法设计方法(1)——迭代法

一、迭代法

     迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1）   选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）   将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3）   当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
【算法】迭代法求方程的根
{    x0=初始近似根；
   do {
      x1=x0；
      x0=g(x1)；   /*按特定的方程计算新的近似根*/
      } while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；
   printf(“方程的近似根是%f/n”，x0)；
}
迭代算法也常用于求方程组的根，令
      X=（x0，x1，…，xn-1）
设方程组为：
      xi=gi(X)      (I=0，1，…，n-1)
则求方程组根的迭代算法可描述如下：
【算法】迭代法求方程组的根
   {    for (i=0;i<n;i++)
         x[i]=初始近似根;
      do {
         for (i=0;i<n;i++)
            y[i]=x[i];
         for (i=0;i<n;i++)
            x[i]=gi(X);
         for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
            if (fabs(y[i]-x[i])>delta)      delta=fabs(y[i]-x[i])；
         } while (delta>Epsilon)；
      for (i=0;i<n;i++)
         printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x[i])；
      printf(“/n”)；
   }
   具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）   如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（2）   方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。