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二重积分转换公式注意将直角坐标系的二重积分化为极坐标

一 问题的提出 (1)、X-型域 注意: 四 小结 思考判断题 解 解 解 在极系下： (如图) o 2a D 解 计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。 首先，选择坐标系。 其次，化二重积分为二次积分。 根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。 最后，计算二次积分。 由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。 如果一个二重积分的 积分区域既是 型又是 型，那么一定能按 * * 第二节 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 利用直角坐标计算二重积分 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结与思考判断题 (Calculation of double integral) 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D: 如果积分区域为： ［X－型］ 放大图象 X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、 (2)、Y-型域： ［Y－型］ 放大 Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、 2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若?(x,y)≥0，则 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形 面积为： y Z 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1)上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2)积分次序: X-型域 先Y后X; 3)积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。 为方便，上式也常记为： 3、Y-型域下二重积分的计算： 同理： ［Y－型域下］ 1)积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2)积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 4、利用直系计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； (3)确定积分限，化为二次定积分； (2)根据积分域类型, 确定积分次序； (4)计算两次定积分，即可得出结果. 解： ［X－型］ ［Y－型］ 例2 解： X-型 例3 解： (如图)将D作Y型 -1 2 5、若区域为组合域，如图则： 0 6、如果积分区域既是X－型， 又是[Y－型], 则有 解： 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解： 原式 例6 解： 先去掉绝对值符号，如图 缩小图象 ［X－型］ 7 小结 返回 ［Y－型］ 三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 1 直系与极系下的二重积分关系(如图) (1)面积元素变换为极系下： (2)二重积分转换公式： (3)注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”： 2 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 (1)区域如图1 具体地(如图) 图1 (2)区域如图2 图2 (3)区域如图3 图3 (4)区域如图4 图4 解 * * * *