积分上下限无穷_科技周刊 | 爬上最“高”的“数”

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我是靠谱客的博主重要航空，最近开发中收集的这篇文章主要介绍积分上下限无穷_科技周刊 | 爬上最“高”的“数”，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

“从前有一颗很高的树，叫高数，上面挂了很多人。” 刚刚步入大学的同学们一定已经听过了这样一句话。带着对高数的敬畏之心，萌新们也已经接触了一段时间高数，不知道大家对于这门课程是否有了新的看法。

高数究竟是什么

高数即高等数学，指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括数列、极限、微积分、级数、常微分方程等。

它重要吗？

作为一门基础学科也足以证明了它的重要性，特别是对理工科专业的学生而言，小到在日后学习的课程中都会涉及到高数相关知识的运用，大到数学作为一种思想方法，现代数学正成为科技发展的强大动力。最主要的是它占6学分，6学分，6学分！你说说它“过分”吗？本篇文章将带大家大致了解一下高数中极限，微积分，多元函数三个知识点，希望对大家的学习有所帮助。

极限

极限是数学中的分支，是微积分的基础概念，同时极限的思想也是近代数学的一种重要思想，是理解函数的重要工具。极限包括数列极限以及函数极限。有关数列极限以及函数极限的定义，同学们应该已经了解并掌握了，在极限这一块，你需要了解极限的基本运算法则，熟练掌握两个重要极限，能够推算并且牢记几种常用的等价无穷小，并且在极限的运算中灵活使用。

微积分

大家都知道，微积分是高数里最重要的内容。 17世纪创立微积分的时候，微积分是有严重瑕疵的，牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。有数学家曾说过：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”到19世纪，在几代数学家的共同努力下，微积分的矛盾在微积分诞生200年后才基本得到解决，第二次数学危机解除。我们先来说说什么是微分吧，很多人学微分时总是和导数傻傻分不清，所以在这里我要特别强调下，导数不是微分，他俩虽然有联系，但其本质是千差万别的。我们来从一个熟悉的例子介绍：一名老司机在一段时间内直道高速飙车，现在求车速v，现在我们知道位移s和时间t的函数s=f(t)：

我们知道，匀速运动的速度等于一段时间内的位移比上时间：

只有匀速直线运动才可以这么求，那变速运动呢？牛顿想到了解决办法，自变量取一个无限小的改变量，也就是△t趋于0，这时我们可以近似认为老司机在匀速开车，我们用dt与ds来表示这个无限小的改变量，于是我们得到这样一个式子：

这里的v也就是无限小的时间内开车的平均车速，也可以将其理解为瞬时车速，在图像上表示为函数在t点处切线的斜率。ds表示一个趋于无限小的过程，这就叫做函数的微分，而dx就叫做自变量的微分。而ds/dt叫做微商，也就是大家熟悉的导数。

接下来说积分学，积分学的体系就清晰多了。包括不定积分、定积分这两大块。其中不定积分说白了就是求原函数的。而定积分又可分为一元函数的定积分，多元函数的定积分和广义积分、含参量积分，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和。我们主要学了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分这四大类定积分。广义积分又可分为两部分，即积分上下限为无穷的广义积分和被积分函数在积分区域里有极限不存在的点的广义积分。含参量积分也主要包括两部分，即上下限包括含参量的积分和被积函数包括含参量的积分，说白了含参量积分其实本质上就是一个新的函数而已。我们来讲讲定积分的内容，首先大家要知道微积分的思想，也就是说“以直代曲，以常代变”，也就是把复杂转为简便。下面我们来看这样一条曲线y=f(x)

现要求如图所示曲边梯形的面积，这时，我们就要运用积分的思想：

分割

近似

我们用无数个小矩形的面积来近似等于曲边梯形的面积，那么这些小矩形的底边长度就是△x_i = x_n – x_n-₁ 而红色实线则是矩形的高，对于每个矩形都有一个固定的高f(ξ_i)。

求和

现在我们将所有的矩形面积进行求和

求极限

如果让每个矩形定边无限小，那么就越接近曲边梯形的真实面积，也就是说面积可以用极限形式来表达：

我们就把这个极限定义为f(x)在区间【a，b】上的定积分，形式如下：

好了，以上就是我们所学的最基础的微积分定义，所有的细枝末节的知识点都是在这个基础上开展的。

多元函数

中学阶段讨论的函数大部分都只有一个变量，几乎都是y=f(x)的形式。这种函数就叫做一元函数。在很多实际问题上往往牵扯到多方面的因素，反映到数学上就是一个因变量依赖多个自变量的情形，这就引出了多元函数。多元函数的定义和熟知的一元函数类似，都是映射的概念。设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。高数里主要讨论二元函数的情形。事实上中学阶段也接触过多元函数，类似圆，椭圆等二维图像都是用两个变量来表示其方程。二元函数，通常是一张曲面，如图所示：

多元函数的一些概念： 这里不依照教科书上的官方概念，只是用通俗易懂的语言简单介绍一下二元函数。类比一元函数f(x)，横轴x上一个值，对应纵轴y上一个值。这里不说成点，因为二元函数的自变量往往与直角坐标系平面上的一个点(x，y)对应，也就是说二元函数自变量x，y确定的有序数对(x，y)与平面上的一点M对应。你也可以简单的的理解为平面上的一个点就是二元函数的一个自变量。这里要注意，一元函数自变量用一个数轴就能确定，其值用另一个数轴才能表示；二元函数的因变量或者叫二元函数的值也不能直接表现在二维平面上，而是用空间直角坐标系的第三个坐标轴来表示，如上图。二元函数也有与一元函数类似的概念，极限，导数，微积分等等。 二元函数多元函数偏导数的概念： 就是它关于其中一个自变量的导数而保持其他自变量恒定，就是偏导数。关于全部自变量的导数，就是全导数。偏导数的几何意义：表示固定面上一点的切线斜率。偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。