【同余定理相关详解】

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我是靠谱客的博主靓丽皮带，最近开发中收集的这篇文章主要介绍【同余定理相关详解】，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

现在先搭一个框架，

会随着学习不断按顺序更新一下内容：
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同余定理与朴素GCD
快速幂和快速指数
扩展GCD（欧几里得算法）
中国剩余定理
逆元算法

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同余运算：
（a+b） % n = ( a%n + b%n ) % n
（a-b） % n = ( a%n - b%n ) % n
（a*b） % n = ( a%n * b%n ) % n
（a^b） % n = ( (a%n) ^ b ) % n
/*
基础同余推导：
设：
a%n =k1... r1
b%n =k2... r2
( (k1+k2)*n+r1+r2 )%n = ( r1+r2 )%n = ( a%n + b%n ) % n
( (k1-k2)*n+r1-r2 )%n = ( r1-r2 )%n = ( a%n - b%n ) % n
（a*b） % n
-> ( (k1*n+r1)*(k2*n+r2) ) % n
->
-> ( k1*k2*n^2 + n(k1*r2+k2*r1)+r1r2 ) %n
-> ( r1r2 )%n -> ( a%n * b%n ) % n
(a*a*a*a...)%n -> ( a%n * a%n * a%n... )%n ->( (a%n) ^ b ) % n
*/
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扩展GCD推导：
//此部分暂时存放引用 ， 等完善之后删除
扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现：
　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　 return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　 return r;
　　}　　
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
　　可以这样思考:
　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
　　那么可以得到:
　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y).
求解 x，y的方法的理解
　　设 a>b。
　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
　　2，ab<>0 时
　　设 ax1+by1=gcd(a,b);
　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
　　这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
　　上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以
　结束。
　　在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：
　　求a * x + b * y = c的整数解。
　　1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = c'，此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则c' * x0,c' * y0是方程a' * x + b' * y = c'的一组整数解；
　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = c'的所有整数解为：
　　　　其实我们求得的解只是一组，
　　　　a*x0+lcm(a,b)+b*y0-lcm(a,b)=1;
　　　　a*x
+b*y
=1;
　　　　x=x0+b/gcd(a,b);y=y0-a/gcd(a,b);
　　　　a/gcd(a,b)*x'+b/gcd(a,b)*y'=c/gcd(a,b);
　　　　x'=c/gcd(a,b)*x0+b/gcd(a,b);y'=c/gcd(a,b)*y0-a/gcd(a,b);
x = c' * x0 + b' * t
y = c' * y0 - a' * t
(t为整数)
　　　 上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。