[题解]Running Median

题目描述
For this problem, you will write a program that reads in a sequence of 32-bit signed integers. After each odd-indexed value is read, output the median (middle value) of the elements received so far.
输入
The first line of input contains a single integer P, (1 ≤ P ≤ 1000), which is the number of data sets that follow. The first line of each data set contains the data set number, followed by a space, followed by an odd decimal integer M, (1 ≤ M ≤ 9999), giving the total number of signed integers to be processed. The remaining line(s) in the dataset consists of the values, 10 per line, separated by a single space. The last line in the dataset may contain less than 10 values.
输出
For each data set the first line of output contains the data set number, a single space and the number of medians output (which should be one-half the number of input values plus one). The output medians will be on the following lines, 10 per line separated by a single space. The last line may have less than 10 elements, but at least 1 element. There should be no blank lines in the output.
样例输入 Copy
3
1 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
3 23
23 41 13 22 -3 24 -31 -11 -8 -7
3 5 103 211 -311 -45 -67 -73 -81 -99
-33 24 56
样例输出 Copy
1 5
1 2 3 4 5
2 5
9 8 7 6 5
3 12
23 23 22 22 13 3 5 5 3 -3
-7 -3
提示
来源：Greater New York Regional 2009

问题传送门

题目的理解

这道题与洛谷P1168类似但输出有点***，对于题目描述，可知这道题让我们做一个维护区间序列$a$的中位数，注意需要排序（对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。 --选自百度百科).

分析这道题

首先，注意序列个数达到奇数个时，要输出询问答案。

对于最暴力的方法

对于每次询问，做一遍查询，排序，输出$an{s}_{k/2+1}$这个数即可。

分析时间复杂度为$O(n^2\log n)$,此时过不了这道题，但可以拿到$40\%$的好成绩.

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100001];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
if(i==1)printf("%dn",a[i]);
if(i!=1&&i&1){
sort(a+1,a+i+1);
printf("%dn",a[(1+i)/2]);
}
}return 0;
}

对于正解的方法1

用堆来维护，然后二分， 分析时间复杂度为$O(n\log n).$可以过，但这不是重点。

对此代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
priority_queue<int> big;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > small;
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
int id, m, cnt, a, mid;
while(T--) {
while(!big.empty()) big.pop();
while(!small.empty()) small.pop();
scanf("%d%d", &id, &m);
cnt = 1, mid = -0x3fffff;
cout<<id<<" "<<(m + 1 >> 1)<<endl;
for(int i = 1; i <= m; ++i) {
scanf("%d", &a);
if(big.empty()) {
big.push(a);
mid = a;
cout<<a<<" ";
continue;
}
if(a < mid) big.push(a);
else small.push(a);
if(((int)big.size() - (int)small.size()) > 1) {
int t = big.top();
big.pop();
small.push(t);
} else if(((int)small.size() - (int)big.size()) > 1) {
int t = small.top();
small.pop();
big.push(t);
}
if(i & 1) {
++cnt;
if(big.size() > small.size()) mid = big.top();
else mid = small.top();
if(cnt % 10 == 0) cout<<mid<<endl;
else cout<<mid<<" ";
} else mid = (small.top() + big.top()) / 2;
}
if(cnt % 10 != 0) cout<<endl;
}
return 0;
}

对于正解的方法2

这道题用链表维护也可以。

对于正解的方法3（重点）

我们考虑用平衡树来维护这个序列，对于每次询问，只需要询问$[1,i]$区间即可，查找区间这段排名$(kth)$为$(i/2+1)$的数字。其他情况只需要插入$(insert)$,然后一个平衡树板子就好了。

分析时间复杂度：对于平衡树查询有$O(\log n)$的复杂度， 然后询问存在大概$n/2+1$次， 所以时间复杂度约为$O(n)$ 综合一下，这道题用平衡树来维护的时间复杂度为$O(n\log n)$. 可以过了。

Splay代码

以$\text{Splay}$ 为例(这里无需排序，因为$\text{Splay}$ 本质已经排过序了,该代码复杂度为$O(n\log n)$)：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define re register
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 7;
int root,ncnt;
struct node {
int ch[2],val,cnt,fa,size;
} tr[maxn];
inline void pushup(re int x) {
tr[x].size=tr[tr[x].ch[0]].size+tr[tr[x].ch[1]].size+tr[x].cnt;
}
inline void rotate(re int x) {
re int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa,k=tr[y].ch[1]==x,w=tr[x].ch[k^1];
tr[y].ch[k]=w;
tr[w].fa=y;
tr[z].ch[tr[z].ch[1]==y]=x;
tr[x].fa=z;
tr[x].ch[k^1]=y;
tr[y].fa=x;
pushup(y),pushup(x);
}
inline void splay(re int x,re int rt) {
while(tr[x].fa != rt) {
re int y=tr[x].fa,z=tr[y].fa;
if(z!=rt)(tr[z].ch[0]==y)^(tr[y].ch[0]==x)?rotate(x):rotate(y);
rotate(x);
}
if(!rt)root=x;
}
inline void insert(re int x) {
re int cur=root,p=0;
while(cur&&tr[cur].val!=x)p=cur,cur=tr[cur].ch[x>tr[cur].val];
if(cur)tr[cur].cnt++;
else {
cur=++ncnt;
if(p)tr[p].ch[x>tr[p].val]=cur;
tr[cur].ch[0]=tr[cur].ch[1]=0;
tr[cur].fa=p;
tr[cur].val=x;
tr[cur].cnt=tr[cur].size=1;
}
splay(cur,0);
}
inline void find(re int x) {
if(!root)return;
int cur=root;
while(tr[cur].ch[x>tr[cur].val]&&x!=tr[cur].val)cur=tr[cur].ch[x>tr[cur].val];
splay(cur,0);
}
inline int kth(re int k) {
re int cur=root;
if(tr[cur].size<k)return 0;
while(1)
if(tr[cur].ch[0]&&k<=tr[tr[cur].ch[0]].size)cur=tr[cur].ch[0];
else if(k>tr[tr[cur].ch[0]].size+tr[cur].cnt) {
k -= tr[tr[cur].ch[0]].size+tr[cur].cnt,cur=tr[cur].ch[1];
} else {
splay(cur,0);
return cur;
}
}
int t,cnt,n,m,x;
int main() {
//	freopen("1.txt","w",stdout);
scanf("%d",&t);
while(t--) {
scanf("%d%d",&cnt,&n);
printf("%d %dn",cnt,(n+1) >> 1);
memset(tr,0,sizeof(tr));
for(re int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%d",&x);
insert(x);
if(i & 1){
printf("%d ",tr[kth((i / 2 + 1))].val);
if(((i+1)/2)%10 == 0)puts("");
else if((n%2==1&&i==n)||(n%2==0&&i==n-1))puts("");
}
}
}
return 0;
}

又用平衡树水过一道题。

最后

以上就是悲凉铃铛为你收集整理的[题解]Running Median的全部内容，希望文章能够帮你解决[题解]Running Median所遇到的程序开发问题。

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